Question

りょう

数IIの図形と方程式のところです！
この式の意味がよく分かりません。
どなたか考え方を教えてください🙏

ULIKE
2直線の交点を通る直線
2直線 x+y-4=0, 2x-y+1=0 に対して, 方程式
点と直線の
k(x+y-4)+(2.r-y+1)=0
直線 ax + b.
を考える。ただし, kは定数とする。
直線!と点
る。これを求
方程式のが2直線の交点を通る直線を表すことを示してみよう。
点Hの座標を
x+y-4= 0, 2x-y+1= 0
x+y-4=0 4 |
2x-y+1=0
を同時に満たす x, yの値の組 x=1,
k=1/k=0
x,
y=3 はkの値に関係なく① を満たす。
k=-1
よって
14
よって,① で表される図形は2直線
3
この値をkと
の交点(1, 3)を通る。
また,①を変形すると
4
すなわち
(k+2)x+(k-1)y+(-4k+1)==0
また、H(x
e+2とk-1は同時には0にならないから, ② の表す図形は直線である。
これと2よ
よって, ① は2直線 x+y-4= 0, 2x-y+1=0 の交点 (1, 3) を通
る直線を表す。
2直線の交点を通る直線 is
例題
これよ
の交点と点(23)

ULIKE
2つの円の交点を通る円
前ページの例題5のように, 2つの円
°+y°-10 = 0
9
次の円
k=-
中
x°+y°-12.x+6y+20= 0
の
(2) 点
は,2点(1, -3), (3, 1) で交わる。
O
k=3
2つの円0, 2に対し, kを定数として,
k=-2.
2
次の方程式を考える。
-5
k(x°+y°-10)+(x°+y°-12.x+6y+20) =0
10 方程
x= 1, y=-3 および x=3, y=1が③を満たすから, 2点 (1, -3 11 次の
(3, 1) は3で表される図形上にある。
10
また,③を変形すると
(k+1)x+(k+1)y°-12x+6y+(-10k+20) = 0
12 直編
数
となる。したがって
kキー1のとき, ③ は2つの円0, ② の交点を通る円を表し、
k=-1のとき, ③は2つの円(D, (② の交点を通る直線を表す。
り

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

_

最初に、なぜわざわざ
k(x+y-4)+(2x-y+1)=0
という式を考えるのか、というところから。
やりたいことは、「x+y-4=0と2x-y+1=0の交点を具体的に計算せずに、交点を通る図形の方程式を作る」ことです。
このことを念頭において読んでみてください。

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2直線x+y-4=0,2x-y+1=0の交点を(p,q)とおきます。(ちゃんと求めるのが面倒なので文字でおきました)
すると、(p,q)は直線x+y-4=0上にあるので、
p + q - 4 = 0
また、(p,q)は直線2x-y+1=0上にもあるので、
2p - q + 1 = 0
が成り立ちます。
ここで、①の左辺にx=p,y=qを代入すると、
k(p+q-4)+(2p-q+1) = k・0 + 0 = 0
となるので、x=p,y=qはkの値に関係なく①を満たすことがわかります。つまり、①で表される図形は、kの値に関係なく(p,q)を通ります。
(画像ではp=1,q=3と求めていますが、p,qの値を求めなくても分かることだったのです。)
①の式のままだとxやyがあちこちにあって扱いづらいので、移項して整理したものが②になります。このように変形することで、①は直線を表していることが分かったよと言っています。

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続いて2枚目の画像。といってもやりたいことは先ほどと変わりません。
①と②の交点を(p,q)とおくと、(x,y)=(p,q)は①,②を満たすので、
p^2 + q^2 - 10 = 0
p^2 + q^2 - 12p + 6q + 20 = 0
そして③に(x,y)=(p,q)を代入すると、
k(p^2+q^2-10)+(p^2+q^2-12p+6q+20)
= k・0 + 0 = 0
よってkの値に関係なく、③で表される図形は(p,q)を通ります。

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例えば、「2つの円の2交点を通る直線の方程式を求めなさい」といわれたとき、連立方程式を解いて交点を出して、2点を通る直線を考えて、というのでは大変です。代わりにこの方法を使えば、2交点を通る図形の方程式が一般的にkを用いて表せるので、後はその図形が直線になるときのkを求めて代入すれば良いのです。

りょう

ありがとうございます!!
凄くわかりやすいです！