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(2) ADEF=AABC-(△ADF+ABED+ACFE)として求める。
指針(1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと、
(2) ADEF の面積をSとするとき, Sの最小値とそのときのtの値を来めま、
重要
而積が1である△ABCの辺 AB, BC, CA 上にそれぞれ点D
例題164 三角形の面積の最小値
AD:DB=BE: EC=CF:FA=1:(1-1) (ただし, 0<re
る。
となるように。
() AADF の面積を1を用いて表せ。
きのto
AABC とAADFはZAを共有していることに注目。
AADF=-
AD·AFsinA
AABC=
AB-ACsinA(=),
Sは1の2次式 となるから, 基本形 alt-b)+q に直す。
ただし、tの変域に要注意!
解答
検討)
(1) AD=tAB, AF=(1-t)AC
であるから
一般に
AABC_AB-AC
AABC
AADF=
F
AB-AC
(1-)AB-ACsinA
B E-1ー C
B。
AABC=-AB-ACsinA=1
よって
AADF={(1-); AB·ACsin4
2
(*) 3-3+1=3(-ト-
=t(1-)
ABED=ACFE=(1-1)
(2)(1) と同様にして
S=AABC-(AADF+ABED+△CFE)
St S=3f-3t+1
よって
=1-3(1-)=3"-31+1=3(1-+-
ゆえに,0<<1の範囲において, Sは
最」
=ーのとき最小値 をとる。
t
0
(D, E, Fがそれぞれ辺 AB, BC, CA の中点のとき最小となる)
