Question

saia

（iii）がわかりません。この問題で、なぜ答えに0と2が含まれるのかがよく分からなくてら教えてくだてください

(1) xに関する不等式x°- (k +1)x+k<0について考える。
実践問題
10分
04
)xに関する不等式x-(k+1)x+k<0について考える。
ア<x< イ となる。
(i)&=3のとき,この不等式の解は
(1)?- (k+ 1)x+k=0の判別式Dを考えると, D=(kー )と表きされるため
ェであることがわかる。
小
不等式が成り立つような実数xが存在しないとき, R=
不等式が整数解をもたないとき,kのとりうる値の範囲は
オ
カ
でめる。また,不等式を満たす整数解が3個以下となるような整数んの値は キ
あり,そのうち最小のものは クケ
最大のものは
コ
である。

2次方程式や2次不等式の解の存在に関する問題で
値は
かめい
は, y=f(x) のグラフを用いて以下の点について著
3. f(p)の符号 (ただし, かは条件に関係する値
整数解を数える問題は数直線をかき, 境界に気をっ
れた。
a=-1のみである。(0)、,
2次関数
04
MARKER
2次方程式や2次不等式の解の存在に関する
は、ソーf(x) のグラフを用いて以下の点につ
察する。
150
2. 軸の位置
0-00
ST
整教解を数える問題は数直線をかき, 境界に気る。
けて解く。
(1) (i) 与式にん=3を代入して,
x-4x+3<0
(x-1)(x-3)<0
よって, 1<xく3
(i) x?-(k+1)x+k=0 の判別式Dは
D=(k+1)?-4k=k?-2k+1=(k-1)°。
不等式が成り立つ実数x が存在しないためには、
すべての実数xについて
0
> (140
アイ
が成
対値
S1
x?ー(k+1)x+kNO
こか
が成り立てばよいので, D<0
(k-1)?<0
- 56

. k=1ェ
k-1>0すなわちょ>1
また,x軸より上側にグラフがあればよいので,判
別式Dは負になる。したがって, 求める条件は
k>1かつ D<0 (⑤),
(iv) D<0を解くと
(xーk)(x-1)<0
上り、々キ1のとき, 不等式の解はk<x<1または
るから、
1<r<んである。
0 k
(k-1)-4k(k-1)<0
(k-1)(3k+1)v0
1
3
2
はいず
魔かめ
. kく-
k 2 x
()より,k>1かつ D<0であるから 1<k
また,(ii)より, k=1のときもすべての実数xについ
hて成り立つので, 求めるkの値の範囲は
k21(0)タ
この範囲に整数が存在しないkの条件は, 数直線よ
り、0Sk<1 または1<k<2 となる。
また, (ii)より k=1のときも解をもたないので, 整
数解をもたないkの範囲は0<k<2ォカ (
不等式を満たす整数解が3個以下であるkの範囲
を考えるために, まず不等式を満たす整数解がちょ
うど3個となる場合を考える。
()た<1のとき, k<x<1を満たす整数xが
x=0, -1, -2のちょうど3個であればよいので,
05
MARKER
或り
2次関数のグラフとx軸がある範囲で交わるとき,
「軸の位置」「範囲の端における関数の値」 「頂点の
y座標(判別式)」に注目する。
また,2次不等式を解くときには、グラフをかいて
考えると視覚的に理解できる。
す
-3Sk<-2
ら
(1) f(x)={x-(a+3)}?+a°+2a15より,Gの頂点の座
標は(a+3, a'+2a-5ァィ)
(2)(i) グラフA~Eのうち,
条件Iを満たすものは A, B, C, E
条件Iを満たすものは B, D, E
条件Iを満たすものは A, D, E
よって,条件I, Iをともに満たすグラフは
BとE(6)。
条件I, Ⅲをともに満たすグラフはDとE(@)
(i) グラフGが条件Iを満たすのは, Gが下に凸の放
物線であるから,その頂点のy座標が負のとき,
すなわちa+2a-5<0 …①のときである。
2次方程式α°+2a-5=0 の解が
a=-1±(6 であることから、①の解は
-1-/6(0)ォ<a<-1+/6 (0)ヵ 0
(注意)条件Iについて, 2次方程式f(x)=0 の判別
式Dについて,D>0として考えてもよい。
-3 k
-2
-1 0
1x
1<kのとき, 1<x<んを満たす整数xが
x=2, 3, 4のちょうど3個であればよいので
4くk<5
大量
2
3
4
k5x
エ
よって,整数解が3個以下であるようなkの範囲は
-3SkS5
これを満たす整数kは
k=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
の9個+であり,最小のものは=3クケ
最大のものは5コ
(2) (i) 与式にk=0を代入すると
ーx+x>0
xーx<0
グラフGが条件Ⅱを満たすとき,a+3>2
x(x-1)<0 : 0<x<1サシ
(i) 2次不等式とならないのはx°の係数が0, すな
わちょ=1zのときのみである。このとき, 与式は
0x°-0x+1>0となり, どのようなxに対しても不
等式は成り立つ。
よって, すべての実数 x(@)。が解となる。
&キ1のとき, 不等式がすべての実数x に対して
成り立つとすると, y=(k-1)x?-(k-1)x+kのグ
ラフが下に凸の放物線で, x 軸より上側にグラフが
あればよい。下に凸の放物線より
すなわち a>-1 ②
条件IIを満たすとき,
f(2)=2°-2(a+3)·2+2q°+8a+4
=2a°+4a-4>0
よって, α°+2a-2>0の解より
a<-1-3, -1+/3<a
グラフGがx>2の範囲でx軸と異なる2つの交点
をもつための必要十分条件は, 条件I, I, Ⅲをす
べて満たす,すなわちの, ②, ③をすべて満たすと
57

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

鈴木鈴

問題の不等式の不等号が≦でなく<なので、ｋが0や2になったとしても0や2が解に含まれるわけではないから　ということだと思います。
よろしければ参考にしてください。

saia

すいません💧今気付きましたが誤字だらけの質問にに答えてくださってありがとうございます！よく理解できました！