Question

シューマイ

マーカーしたところの意味がわかりません。

イント
lim
e々
=0 lim
log.エ
=0 F
8
0200+
x>0 のとき,Vェ>log.z を示せ.ie
((2) lim
log z -0 を示せ.
0-スS
エ→0

81
(は)=V -log (z>0) とおくと
1
f'(z)=
1_z-2
2Vェ
2c
x)=0 より,エ=4 だから, 増減は表のようになる。
0
4
f'(z)
0
nie
f(z)
|2-21og2
d
ここで,2-21og2=2(1-log2) において
1og2<loge=1 より,1-log2>0 だから 2-21og2>0 モ
よって,f(x)>0,すなわち, Vz >log.z
(2) 2→ 0 だから, z>1 として考えてよい。
このとき,(1)より, Vz>log.r だから, 0<Ogエ
log.z
く-
1
lim
=0 だから,はさみうちの原理より
L→ 0
log.r
lim
=0
2→0

微分法の不等式の応用 数学3 基礎問題精構

Answer 1

なむる

・(1)中のマーカー部分について
ここまでの議論で、f(x)の最小値が2-2log2であることがわかりました。この最小値が0より大きければ、√x-logx>0は常に成り立つわけですね。そこで、
log2<1
2log2<2
0<2-2log2
と変形することで、f(x)>0が常に成り立つことがわかります。

・(2)中のマーカーについて
しっかり説明しようとするとちょっと面倒なのですが、x→∞としたとき、xが何らかの実数より小さいと、それは無限大とは言い難いですよね。特に、x≦1の状態のxが「正の無限大」とは言えなさそうなのは直感的に理解できると思います。
つまり、「正の無限大の極限を取るんだから、最初からx>1として考えて良い。どうせxは1より大きくなるんだから。」という考え方になります。

シューマイ

返信ありがとうございます。疑問点を質問させてください。
log2<1というのはどこから出てきたものですか？

なむる

底e>1かつ、2<eより、log2<loge=1
となります。