Question

stu_lader

解き方教えてほしいです。

(1) 方程式 cos30 =-2cos0 を0<0<2πの範囲で解け。
「3
を満たす0の値の範囲を求めよ。
2
(2) 0<0<zのとき, 0<sin0-cos0<

三角方程式と不等式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ムッシュ熊夫

cos3θ=4cos³θ-3cosθ=-2cosθ
4cos³θ-cosθ=0
cosθ(4cos²θ-1)=0
cosθ=0　①,4cos²θ-1=0　②
①よりθ=π/2,3π/2
②よりcos²θ=1/4
cosθ=±1/2
θ=π/3,2π/3,4π/3,5π/3
したがって、θは①と②で求めたもの。

sinθ-cosθ=‪√‬2sin(θ-π/4)より、全てを‪√‬2で割ると
0<sin(θ-π/4)<‪√‬3/2
θ-π/4=‪α‬とおく。
ここで、0と‪√‬3/2をsinで表すと
sin0<sin‪α‬<sinπ/3
と
sinπ<sin‪α‬<sin2π/3
これを満たす‪α‬は
‪0<‪α‬<π/3,2π/3<‪α‬<πとなり、
‪α‬を戻すと
0<θ-π/4<π/3,2π/3<θ-π/4<π
よって求めるθの範囲は
π/4<θ<7π/12　①
11π/12<θ<5π/4　②
となるが、ここでといに示してあるθの範囲を考えると、θ<πなので②の範囲は
11π/12<θ<π　③となり、
求めるθの範囲は①と③となる。

stu_lader

ありがとうございます!