Question

tkhsre

√5+√7を有理数と仮定してるから、√7は有理数ということは正しいんじゃないですか？「√7が無理数であることに矛盾する」とはどうゆうことですか？

5+/7 は無理数であることを証明せよ。 ただし, V7 は無理数であること
もよい。後者の場合,「q→」つまり対偶が真であることを示したことになる。
導くが,結論の「gでない」に対する矛盾でも, 仮定の 「かである」に対する矛盾でもどちらで
命題カ→qについて, 背理法では 「かであってqでない」 (命題が成り立たない) として矛盾を
このように考えると,背理法による証明と対偶による証明は似ているように感じられ
OO00
100
基本 例題58 背理法による証明
p.96 基本事項
知られているものとする。 おさ
有理数(無理数でない実。
実数
無理数(有理数でない実。
指針> 無理数である(=D有理数でない)ことを直接示すの
は困難。そこで, 証明しようとする事柄が成り立た
ないと仮定して,矛盾を導き, その事柄が成り立つ
ことを証明する方法,すなわち 背理法で証明する。
直接がだめなら間接で 背理法
CHART 背理法
「でない」、「少なくとも1つ」 の証明に有効
解答
V5+/7 が無理数でないと仮定する。
V5+V7 は実数であり。
無理数でないと仮定してい
るから,有理数である。
このとき,5+V7 は有理数であるから, rを有理数として
5+/7=rとおくと 15=r-/7
5=r2-2/7ァ+7
27ァ=+2
両辺を2乗して
▲ 2乗して, /5 を消す。
(*)有理数の和·差·積商
ゆえに
V7=ピ+2
2r
アキ0であるから
は有理数である。
72+2, 2r は有理数であるから, ① の右辺も有理数である(*)
よって、①から/7 は有理数となり, V7 が無理数であること
に矛盾する。
したがって, V5+V7 は無理数である。
検討
V5 が無理数であることを促
定すれば,7 =rー/5 の両
辺を2乗して、同様に証明で
きる。
検討)背理法による証明と対偶による証明の違い
的には異なるものである。対偶による証明 は 「q→」を示す

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

さとる

前提として√7は無理数として考えられているはずなのに√7が有理数って証明されていることが矛盾ってことじゃないでしょうか。

tkhsre

その前提を読み間違えてました、。これでわかりました。ありがとうございます！

さとる

ちなみに√がついてるものは無理数に分類されます。

tkhsre

でも、√1とか√4は有理数ですよね？

さとる

ですね整数に戻せるものは全部有理数です

tkhsre

無限小数は有理数じゃないけど、循環小数は有理数ですか？

さとる

循環小数は1.2222とかだったら1+2/9の分数とかで表せるので有理数になるんですけど循環してないものは分数で表せないので無理数ってなりますね

tkhsre

そうなんですね！ありがとうございます！

Answer 2

はまはま

背理法は矛盾を言えば証明完了という技です！
この問題の最初の条件に√7は無理数であるとするという言葉があります！無理数は、分数では表せませんが、計算した結果√7が分数で表されています。無理数なのに分数で表されている！というとこが矛盾です！
説明ムズいっす！

tkhsre

あ、。最初に√7は無理数だと書かれているの、気づきませんでした笑
てっきり無理数であると知られていないと書いてあると思っていました笑　
理科できました！ありがとうございます！