Question

魚見さん

この問題が初見で出たときに、（2）の問題について
yに関して積分するという発想が出てきますか？？？

[復習問題)
aを正の実数とする.放物線 y? = 4ax 上に 2 点 O(0,0) と A(x1, Vn)をとる。
1>0 として,以下の問いに答えよ。
(1) a>0 として,関数F(t)を F(t)={tt2 +a +alog(t+\t2 +a )} とおく.導
関数 F'(t)を求めよ。
(2) 点0から点Aまでの曲線の長さ Lを ,の関数として表せ.ただし,x=0 で値が
発散する関数 g(x) についてはI'g(x)de= lim "g(x)dx、と解釈する(a>s>0).

(2) =4az のとき 2y=4a du'つまり, _y
であるから、(1)の F(t) を F。(t) とかき,Aが放物線
y=4az 上にあることより,y?=4az」が成り立つこと
復習問題
(2)yで積分すれば,直接(1)を利用できます。
解
(1) F(t) =} +a +alog(t+\F?+a)}
より、
F(t)={1-2+a +t
2t
22+a
2
2t
t+Vt?+a
2Vt2+a
=((P+a+
t?
T+a
V2+a
=t+a
dz
dy
2a
と>0に注意すると、
L=
da
)+1 dy
2a +4' dy
-F(g) dy=Fuala)|
+1 dy=
4a
2a Jo
1
2a +4 +4d'log(y+\y"+4d' )}]。
11
1
4a
-[yv+4a?
+4q°{log(y+、y?+4a)-logV4a'}]
{(+4d)
4a
+4c*log++4c
『4c
++4a°
1
aV4az(4az+4a')
14az, +V 4azit+4a°
V4a?
+4°log
Yit a
=z(エ+a)+a log-
Va
ゆ注 問題文のただし書きは,放物線のy20の部分
について,
a
(エキ0)
y=2/aVz
de
であることから、
dy
de
dエ= lim
S→+0Js
1+
1+
L= lim
とした場合のためにあります。この場合は, z=t? と
置換すると,(1)が利用できる形になります。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

キレート

その発想を出させるための誘導の1番です。
数学の問題で行き詰まった時はその大問の誘導に乗りましょう。

魚見さん

順序としては、一目でyについて積分しようと発想するというよりかは、（2）をxについて解いていって、計算が煩雑になりそうだったらyについて解く　というように方針転換するんですかね？

キレート

そうですね、普通に進めてこのままだとうまくいかなさそうと思った段階で1番が誘導であることを疑いましょう