実数x, yがx°+y°%=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
指針>条件式は文字を減らす方針でいきたいが, 条件式x°+y°=2から文字を減らしても,
重要 例題119 2変数関数の最大 最小 (4)
187
OOの
vがx+y"=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
[類南山大)
基本 98
2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで,2x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいように y=t-2xとして yを消去し, x+y°=2 に代入すると
x?+(t-2x)=2となり, xの2次方程式 になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。
実数解をもつ → D20 の利用。
31
1
CHART最大·最小 3Dt とおいて, 実数解をもつ条件利用
CHYBI
解答
2x+y=tとおくと
これをx+y°=2に代入すると
ソ=t-2x
の
実数 a, b, x, yにつ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー·シュワルツの不
等式)。
参考
x°+(t-2x)°=2
5x2-4tx+t°-2=0
整理すると
このxについての2次方程式②が実数解をもつための条件は,
2の判別式をDとすると
(ax+by)<(a+b)(x*+y°)
[等号成立は ay=bx]
D20
a=2, b=1 を代入すると
『ここで -=(
2=(-2t)-5(-2)=-(-10)
4
x°+y°=2 であるから
(2x+y)°<10
D20から
t2-10S0
よって
これを解いて
ーV10 Stい/10
-V10 <2x+y</10
(等号成立はx=2y のとき)
このようにして, 左と同じ答
えを導くことができる。
-4t_2t
をもつ。
三
t=±V10 のとき D=0 で, ②は重解x=-
2.5
5
2/10
V10
のから y=±
t=+V10 のとき x=±
5
5
(複号同順)
V10
とる。
2/10
xミ
5
のとき最大値、10
したがって
y=
5
2/10
V10
のとき最小値 -V10
5
リミー
x=
5
