重要例題)199 文字を含む三角関数の定積分
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OO
次のことを証明せよ。 ただし, m, n は自然数とする。
(m+n が偶数)
0
S'sin
mx COS nx dx=
2m
(m+n が奇数)
m?-n?
基本1%
MOエTOO
CHARTOSOLUTION
三角関数の積分
次数を下げて, 1次の形にする
積→和の公式から
(sin(m+n)x+sin(m-n)x}
sin mx co0S nX=-
m, n は自然数であるから
そこで,まずは m-nキ0 の場合と m-n=0 の場合に分ける。 ..
m+nキ0
解答
*π
T=
Sin mx cosnxdx とする。
sin mx coS nx=
{sin(m+n)x+sin(m-n)x}
『[1] m-nキ0 すなわち mキn のとき
1「cos(m+n)x」 cos(m-n)x]
2
T=ー
m+n
m-n
Jo
1Jcos (m+n)π , Cos(m-n)π
2m
m-n | Cos {(奇数)·元)=-1
1一2
cos {(偶数)元}=1
ニー
2
m+n
m-n
m+n が偶数のとき, m- も偶数で
nial1/1
I=--
* m+n が偶数
→m, nはともに偶数
またはともに奇数
1
2m
m?-nノ=0
m+n が奇数のとき, m-n も奇数で
2(m+n
m-n
→m-n が偶数
m+n が奇数
1 2m
m-nノー m-n
1
1-mtn
2m
→mとnの一方が開数
でもう一方が奇数
2
m-n
『[2] m-n=0 すなわち m=n のとき
→m-n が奇数
1-in2nxda-|-S
Cos 2nx ]r
=0
lo
sin2nx dx=
このようなとき、
4n
「m+nとm-nの信
このとき, m+n は偶数である。
以上により, m+n が偶数のとき
奇は一致する。」
I=0
という。
m+n が奇数のとき
2me0
I=
2
2
m'-n?
000
