260 第10章 総合問題
標問 112
整数の性質の活用
かを2でない素数とし, 自然数 m, nは
(m+n/b)(m-n/D)=1
を満たすとする。
エ+リカ
エーyVp
を満たすものが
(1) 互いに素な自然数の組 (.エ, y) で m+n/p=-
存在することを示せ、
m
(2) zは(1)の条件を満たす自然数とする. エがpで割り切れないことと
をかで割った余りが1であることが, 同値であることを示せ。
(千葉大)
解答)
(1)(m+n\b)(m-n/b)=1 より
m-n'カ=1
ェ+yD の両辺にz-y/p をかけて,
エ-yVp
m+np=
(m+n(b)(ェーy/D)=ェ+y/b
よって,
m.エ-npy+(nz-my)/カ=x+y/D
mI-npy, n.2-my, I, yは有理数,Vpは無
理数であるから,
mz-npy=I
nI-my=y
よって,
(m-1)r=npy
Inz=(m+1)y
m-1
2の両辺に
をかけると
n
(m-1)r=
m?
2-1
n
(*)より,
m-1-np
n
であるから,2'は①と同じ式である。
したがって, ②をみたす互いに素な自然数x, y
が存在することを証明すればよい。
*Oかつ2
は②と同値
であることがあ
の注意は雪
小児科
