●14 無限級数と図形/折れ線など
応標平面において,点 P。を原点として,点Pi, P2, Ps, … を図のよう
にとっていく(点線はェ軸と平行).ただし,
Y4
1
Pォ-1Pォ=
2カ-1
(n21), 0<0<とする。
P2
-P1
(1) PoPi+PPe+…+Pn-1Pn+…を求めよ。
(2) Pの座標をnとθを用いて表せ、
(3) nを限りなく大きくするとき, 点P,はどのょうな点に近づくか。その点の座標を求めよ.
S0
P。
(高知大 理, 医)
点の座標はペクトルを活用
P,P*+1の長さと0を用いて表すことができる. その際, ェ成分の符号は交互に変わる。
交互に変わる符号は(-1)”を活用
漸化式的なとらえ方も大切
PoP= PoP+ PP;+…+P-1Pn ととらえる。 P,Pg+1の各成分は
(-1)"を掛けることで,符号が交互に変わるようにできる。
5)
Pa-iPa と P,P+1の関係(各成分の関係など)を調べる方法もある。
解答目
くT
1
(1){P,-1P}は初項 1, 公比
の等比数列であるから,
(2)について: 漸化式的にとらえ
11
ると,h+1=s
1
PoP+P,P2+…+ Pォー1Pォ+…=1-
=2
1
1-
2
1
(2) Pォ-iP=(In, Un) とする. 直線 Pカ-1Pm と エ軸のなす角が0であり,図 )(1
からn>0であるから, YーPォー1PnSin@ 言の1-
(エ}の符号は交互に変わることに注意して, エッ=(-1)1! Pガ-」PnCOS@
介図から, nが奇数のとき
エ=Pn-1PCOS@
nが偶数のとき
エーーPォ-1PmCos@
1n-1
sin@
1n-1
P-B-により。P-P-((-)
ォ-iP=
1
により,P-1Pr=
cos0,
2
22-1
2
PoP=PoP+ P,P, +…+Pカ-1Pn
1\
11
1-
合は成分は、初項 cos6, 公比 ー
2
2
sin@
1
1-
2
-cos0,
1-
項数nの等比数列の和。
2
全P。は原点,Paの各座標は PoP%
の各成分に等しい。
2
'sin 0
P。
2
12
0, 2sin0
(-0であるから,(cos
3
2
Saie
エale
dieme
O14 演習題 (解答は p.30)
Y4
坐標平面上の点が原点0を出発して, 図のように反時計回り
に90°ずつ向きを変えながら Po=0, Pi, Par P3,
する。ただし,OP,=1 で, n=1, 2, 3.
P3
iP2
と進むと
に対して, PnPn+1
14D
地」に正行な線分と
