Question

赤色

数学について質問です。
(2)番の記述はこれでもいいでしょうか？

基礎問
45 はさみうちの原
ものとする.このとき, 次の(1), (2), (3)を示せ。
に対して,0<an<3
に対して,3-ans
(2) n=1, 2, 3, … に対して, 3-a,S()(3-a)
(3) lim an=3
1→0
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき, ま
ず,帰納法と考えて間違いありません.
(2)これも(1)と同様に帰納法で示すこともできますが,「<」→
「=」としてみると, 等比数列の一般項の公式の形になっています。
(3) 44のポイントの形になっています。 臭いプンプンというところでしょう。
精講
解答
(1) 0<an<3
…0 を帰納法で示す。
(i) n=1 のとき, 条件より 0<a<3 だから, ①は成りたつ.
(i) n=k (k>1)のとき,Q<a<3 と仮定すると, 1<ax+1<4
じゃない
2<Cu -2<ax+1<3
このクに
もってく
よって, 0<ak+1<3 が成りたつ。
(i), (i)より, すべての自然数nについて, ①は成りたつ。
(2) an+1=1+/1+an →3-an+1=2-V1+an 《まず, 左辺に3-an+1
右辺=2-V1+an)(2+/1+an)
2+/1+an
をつくると
右辺にも3-an がでて
3-an
2+1+an
くる
1</1+an<2-→3<2+\1+an<4
(1)より
4
2+/1+an
3
3-an>0 だから,
3-an
く
<号(3-a)
: 3-an+1<(3-an)

よって、n22 のとき,
3-a-<j8-0am)<()8-a-)<… )
2,4() (8-4)
2
n-1
)<…く
n=1 のときも考えて,
3-anS
(3-a)
n-1
(3)(1), (2)より
G) (3-a)
0<3-anS
n-1
ここで,lim (3-a))=0 だから
142
n→0
はさみうちの原理より
lim (3-an)=0
lim an=3
n→o
n→o
94 (an+1)
43でグラフを利用して数列の極限
を考えました。今回は, 38の復習も
兼ねて,グラフで考えてみます.
リ=。
参考
A3
a2
リ=f(a
y=f(z)=1+V1+z と y=zのグラフを
かき, a. を 0<z<3 をみたすようにとれば,
(C
T
a2, as, …と, どんどん3に近づいていく様
-1/0
Ai a2 3
子が読み取れるはずです。
ポイント ; 一般項が求まらない数列 {an} に対してもlimanに
n→o
次の手順で求めることができる
① anのとりうる値の範囲をおさえる
② lima,(=α) を予想する
n→0
③ lan+1-al<klan-al (0<んく1) の形に変戸
て, はさみうち

0n= 1のとも条件より05arSよりDが及しつ
Cn=k(k2)あときひaいくつ
0くarく3> at I<4>2<HJantis3
がベり立つと仮定すると
>2< Carti 3
おてOよりn=t lのとききのが変り○0
97の自のに対しては及りュン
((3-00m)定(3-Om)
3-0041に2-J+an
S3-0nt12 O
(2--0m2+JHOn
24 ViHan
4-1-0m
2++a9
3-0m
2+Mam
3-am
3く24H004なので
2JHOn
3-an>0だから
3-am
2+、TH09)
ゆえに
-00m1くs(3-0m) 3-04く(3-0g)(信j6
の=Tor
3-05<3(3-0)
M=200とき
3-05くす3-00×は)(3-0d)
3-20<(3-0)
3-anくは(3-0
両辺は一致するので
3-amsはご(3-0
(3)()252は)3-0)
Oく30m5同
mは)3-0)=0本ので
まさみうちの尿理より
3-0rm= 0よm Cm-3

基礎問題精巧

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

tra7345

赤字で
３－a[n]＞０だからと書いてある直後の式で
『１／４＜』の項が消えているのはおかしいです。
特に同値記号を使っている場合、これは明らかな間違いとみなされるでしょう。

（大学入試では、同値でないところに同値記号を使うと
印象がかなり悪くなります。ですから、同値記号は使わないほうがいい
と言われますね。私も同値記号は使うな、と教えます）

赤色

ありがとうございます助かりました。
あと、ゆえに〜のところはこのままでもいいでしょうか？
また、同値記号を使わなくても式変形などは進めていっていいのでしょうか？