次の等式を満たす整数x, yの組を1つ求めよ。
S () (2) 11x+19y=5
(1) 11x+19y=1
p.423 基本事項1,2
基本 122
取り方と一般解
OLUTION
CHARTOSOLUT
1次不定方程式の整数解
ユークリッドの互除法の利用
(1) 11 と 19 は互いに素である。まず, 等式 11x+19y=1 のxの係数11とyの
係数 19 に互除法の計算を行う。その際, 11<19 であるから, 11を割る数,19
を割られる数として割り算の等式を作る。
a=11, b=19 とおいて, 別解のように求めてもよい。
(2) xの係数とyの係数が (1)の等式と等しいから, (1) を利用できる。
(1)の等式の両辺を5倍すると
よって,(1)で求めた解を x=Dp, y=q とすると, x=5p, y=5qが(2) の解に
11(5x)+19(5y)=5
なる。
(解答
移項すると
移項すると
移項すると
移項すると
1=3-2-1=3-(8-3-2)·1
=8-(-1)+3·3=8.(-1)+(11-8·1)-3 ー
=11-3+8-(-4)=11·3+(19-11·1)·(-4)
=11·7+19-(一4) CrO
11·7+19·(-4)31
(1) 19=11·1+8
8=19-11·1
3=11-8-1
2=8-3-2
1=3-2-1
別解(1) a=11, 6=19
とする。
さ
8=19-11·1=b-a
11=8·1+3
8=3-2+2
る
3=11-8-1
3=2-1+1
=a-(b-a)=2a-b
2=8-3-2
=(b-a)-(2a-6)·2
よって
=-5a+36
ニー
1=3-2·1
=(2a-b)-(-5a+36)·1
|=7a-4b
ゆえに,求める整数 x, yの組の1つは
x=7, y=-4
而辺に5を掛けると
53-(
(0- -%3 01+よって, 求める整数x, y¢
THの
SI
11·7+19-(-4)=1
すなわち
(の)
組の1つは
