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重要 例題81
直線と面積の等分
3点A(6, 13), B(1, 2), C(9, 10)を頂点とする △ABC について
(1) 点Aを通り,△ABC の面積を2等分する直線の方程式を求めよ。
(2) 辺 BC を1:3に内分する点Pを通り,△ABC の面積を2等分する直線の
方程式を求めよ。
0-
基本 73,76
指針>(1)O 三角形の面積比 等高なら底辺の比 であるから,求める直線は,辺 BC を同
じ比に分ける点,すなわち辺 BC の中点を通る。
(2) 求める直線は, 点Pが辺BCの中点より左にあるから, 辺
ACと交わる。この交点をQとすると,
等角 → 挟む辺の積の比(数学A:図形の性質)
A
ACPQ
AABC
CP-CQ
CB·CA
1
により
M
2
B
P
C
これから,点Qの位置がわかる。
解答
1) 求める直線は, 辺BCの中点を通
る。この中点を Mとすると,その
2+10
A(6, 13)
Q
AAABM とAACM の高さ
は等しい。
C(9,10)
(学)
1+9
座標は
2
(5, 6)
よって,求める直線の方程式は
すなわち
M
BA
'P
0
6-13
(x-6)
(異なる2点(x, y),
(x2, 2)を通る直線の方程
ソー13=
5-6
したがって
y=7x-29
式は
(3·1+1·9
3·2+1·10
)点Pの座標は
すなわち(3, 4)
ニ (x-x)
ソーハ=
1+3
1+3
X2-X1
辺AC上に点Qをとると, 直線 PQが △ABCの面積を2等
S=CASINB
ACPQ
△ABC
CP·CQ
CB·CA
3CQ
4CA
1
CA-CBsinC,
CP-CQsinC
分するための条件は
AABC=
2
ゆえに
CQ:CA=2:3
ACPQ=
よって,点Qは辺 CA を2:1に内分するから, その座標は
ACPQ
AABC
CP·CQ
CB-CA
から
1·9+2·6
1·10+2·13
すなわち(7, 12)
2+1
2+1
また BC:PC=4:3
したがって,2点P, Qを通る直線の方程式を求めると
12-4
ソー4=
(x-3) すなわち y=D2x-2
7-3
る
習
3点A(20, 24), B(-4, -3), C(10, 4) を頂点とする △ABCについて,辺BC
1
を2:5に内分する点Pを通り, △ABCの面積を2等分する直線の方程式を求め
よ。
(p.134 EX56
ありがとございます♪