Question

サスケ

数2 式と証明
剰余の定理に関連して、画像に示した箇所について質問です。

画像の赤で四角く囲ったところ
余りAx+B=0ならばA=B=0
がよくわかりません。

問題文を見ると「整式Fにx=-bを代入した際に余りがGになる」ということから、FがQで割り切れるのはx=-bの場合ですから、(FをQで割った余り)=0がxについての恒等式になるとは限らないと思います。

しかしAx+B=0⇒A=B=0というのは、Ax+B=0がxについての恒等式であることを前提としているように見えます。
どういうことでしょうか。

わかる方、教えてください。

24
第1章 式と証明
課問
7
整式の割り算(1)
aを実数とする. 整式
F=x'+ー4.r"-3.r+15,
G=r°-3.c+a
に対し、次の問いに答えよ。
(1) FをGで割ったときの商と余りをそれぞれ求めよ。
(2) ある実数bに対して, Fを(r+b)Gで割ったときの余りがGであると
き,aの値を求めよ。
(3) 上の(2)におけるbの値を求めよ。
(神戸大)
整式の除法は次のように定義されま
す。整式A, B, Q, R(ただし,
Bキ0)に対し,次の式が成り立つとき, QをAを
解法のプロセス
(1) 割り算を実行する
(2 (1)を利用する
余り Ar+B==0
→精講
Bで割ったときの商, Rを余りという。
A=BQ+R
A=B=0
ただし, Rは, 0かBより次数の低い整式
1次式で割るときの商, 余りは組立除法を用い
ることもできますが, 2次以上の式による割り算
は,「縦の割り算」 を実行します。
(2), (3)は(1)を利用します。
「Fを(ェ+b)G で割ったときの余りがGである」
ならば,
「FはGで割り切れる」 )
から,(1)が利用できます。
(3)(1)を利用する
解答
(1) 割り算を実行すると
2+ 4.x +8
-3.x+a)2+ °
ーa
ー4r?
-3r
+15

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

田中T

「整式Fにx=-bを代入した際に余りがGになる」というのは、どこにも書いてないように思います。
そして、割る数も余りもGがかけられてあることから、FはGで割り切れる。
つまり、FをGで割った余りは、xがどのような値を取ったとしても0になるということなので、恒等式になると考えられます。

サスケ

すみません。剰余の定理を勘違いしていました。確かにここで剰余の定理を用いるのはおかしいですね。

他にも自分の勘違いに気付きまして、それを説明すると結構長くなっちゃうので答え合わせだけさせていただきたいのですが、

「F=(x+b)G+Gにおいて、bはこの等式が成り立つような定数。このとき扱っているF,Gはxに何かを代入した定数ではなく単にxの式だから、どんなxについてもこの等式が成り立つ。」

ということで合ってますか？

田中T

合ってますよ！

サスケ

助かりましたm(_ _)m
教えてくださりありがとうございました！