重要例題|26 三角方程式の解の個数
19%
aは定数とする。0<0<2π のとき,方程式 sin'0-sin0=a について
(1) この方程式が解をもつためのaのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) この方程式の解の個数をaの値によって場合分けして求めよ。
基本 125
CHART O
S
lOLUTION
方程式 f(0)=a の解
2つのグラフ y=f(0), y=a の共有点
sin0=k (0S0<2π) の解の個数 k=±1 で場合分け
0の個数は
k=±1 のとき 1個,-1<k<1 のとき 2個
k<-1, 1<k のとき
0個
解答
sin°0-sin0=a
sin0=t とおくと
ただし, 0<0<2π から
したがって,方程式のが解をもつための条件は,方程式2②
が③の範囲の解をもつことである。
方程式2の実数解は, 2つの関数
ピーt=a
-1StS1
*0S0<2π のとき
4章
-1Ssin0S1
Sate
00 a
ソ=ーt/
16
小
|2
ソーPーt-(-
ソ=a
4
0 0
y=a
のグラフの共有点のt座標であるから,
2
0
1
図から
as2
801
(2)(1)の2つの関数のグラフの共有点の t座標に注目すると,
方程式Oの解の個数は, 次のように場合分けされる。
[1] a=2 のとき, t=-1 から
[2] 0<a<2 のとき, -1<t<0 から
[3] a=0 のとき, t=0, 1 から
1個
* sin0=t を満たす0の
2個
値の個数は,tの値1個
に対して
3個
t=±1 のとき
1個
-1<t<1 のとき 2個
[4] -一<a<0 のとき, 0<t<1 に交点が2個存在し, そ
00円
4個
れぞれ2個ずつの解をもつから
2個
[5] a=-- のとき, t=; から
2
0個
16] a<--,2<aのとき
4
PRACTICE… 126 7
aを定数とする。方程式 4cos'x-2cosx-1=a の解の個数を -元く<xSx の範囲
【類大分大]
三角関数のグラフと応用
