Question

成瀬

【青チャート/空間ベクトルの内積】
赤の内積の計算部分は、何故青で囲った公式を使っていないのですか？
これだと普通の掛け算になってしまいますよね...

https://naop.jp/topics/topics18.html
こちらのサイトにも、ベクトルには積が無いと書かれてありますし、下記の事から『ベクトルの内積』と『ベクトルの掛け算』は少し意味が違うので、『ベクトルの内積』≠『ベクトルの掛け算』という事ですよね。
分かる方、何故この様な計算になるのか教えてください。

《ベクトルの内積》
ベクトルの内積▶答えがスカラー(線型代数学で言う、ベクトル空間のベクトルに対比するものとしての実数)
《ベクトルの掛け算》
平面ベクトルの掛け算▶答えも平面ベクトル(になるはず)
空間ベクトルの掛け算▶答えも空間ベクトル(になるはず)
(※この様にはならない。つまりベクトルの掛け算という物は無い)

461
 上5() 。 空間のペクトLo馬        "ののののの
1辺の長きが1 の正四面体OABC にぉいて Ga> nm-z oOC    ae
(!) 内積・5 を求めよ。       て, OA=4, OB=7, 0C=c とす

(2) 辺BC上に BD=さ となるように

求めよ。
7.460 基本事項(11、(2| )( 重要59、
AS06hRS ep 2 6のム&を6
 民なる場合は 始点をそろえてなす角の を測る)。

6 @*Z に こついても同じである。
(2  OA とOD RNN  (1) と同様にはできない。

そこで, OPD があ で表きれることに着目し、 分配和間を利用する。

  

 

点D をとる。このとき, 内積 0A・OD を

 

り
|

ーーーニーー

 

上風 和仁
() の6=|zlI5lcosZAOB

WP

 

過3Sモテさ >G足時

   
  

<正四面体とは, 4 つの面が
合同な正三角肛でできてい
?四画人(0

⑰ 05                                       くBC=1,BD=さ であるか

ら BD=二BC

外
3
2(信9+ て) と同様の計

貞。
る2・c三|Z|lclcosZAOC

 

   

証弄但 点 D の位置にかかわらず OA・OD の値は一定 ーーの電ana PEですいでの関っ月 守  -
上の例題において, 点 D が辺 BC上にあれば, AB=OB, BD:
ABD=ンOBD=テ60* であるから        AABD=^AOBD 一
ゆえに, へDOA は DA=DO の二等辺三角形である。

間      ーー、     1 ートg 1
よって OA・OD=IOAI(ODlcosZDOめ (CDicsszpo2.OA全8にすCATーす

したがって, 点D の位置にかかわ合志0A・ ・OD の値は一定である。
(<poA= po)  csZPo: 人

大     cosとP04
ee     64 ・ 商 は 合に隊 M  り

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

内積の演算規則で分配法則で計算しています。
なお分配法則の証明自体については写真をアップしておきます。

成瀬

なるほど。ありがとうございます。
ベクトルの内積は四角1の2つの公式を使ってでしか求められないのだと思い込んでいましたが、この四角2分配法則のような性質を使えば、ベクトルのなす角度がわからなくても【ベクトルの内積】はもとめられるという事でしょうか？

成瀬

四角1、四角2とはこの事です。

哲治

もちろん求められません。
分配法則は単なる分配だけです。
だから個々の内積計算は角度が当然に必要です。
ここではすでにa・bが求まっているから、その結果を利用するのに分配法則を使っています。

成瀬

なるほど。分かりました！
ありがとうございました🙇🏼