ノートテキスト
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H.27 1月進研記述高2模試 @自学 B4 座標平面上に半径r (r> 1) の円Cと図形F:y=m|x-2| (mは正の定数) がある。 また, 円Cは点(2, 1)を通り, x軸とy 軸に接している。 (1) rの値を求めよ。 (2)CとFが共有点を3個だけもつとき, m の値を求めよ。 (3) m は (2)で求めた値とする。 x軸に接し, Fと共有点を1個 だけもつような円の中心の軌跡を求めよ。 (配点 40 全国平均 6.8 点)
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自学 (1) Cは中心 (r, r), 半径rの円だから - (x − r)² + (y − r)² = r² - と表せ, これが点 (2, 1) を通るから (2-r)²+(1-r)²=m² 整理すると r2-6r +5=0 (r-1)(r-5)=0 r>1より r=5圈 r (r, r)
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(2) 自学 F:y=mx-2| ox≧2のとき F:y=m(x-2) mx-y-2m= 0 ox < 2 のときF:y=-m(x-2) mx+y-2m=0 CとFが共有点を3個だけもつには, ②とCが接し,かつ, ① とCが異なる2点で交わればよさげ。 ここで, ① と Cはかならず異なる2点で交わるから, ②とCが 接する, つまり, m>0 ② とCとの距離が円の半径 5 となればよいので |m・5+5-2.m :5 ∴ | 3m +5 | = 5√m² +1 2 √m² + (−1)2 2 .. (3m+5)² = (5√m² +1)² ∴m(8m-15)=0 15 (5,5) m>0より m = 8
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(3) m = ① 自学 15 15 より F:y= (x-2) (x≧2) 8 8 15 F:y=-=(x-2) (x<2) 8 ☆x軸に接し, Fと共有点を1個だけもつ☆ 2 ②と軸の二等分線 お絵かきしてみると・・・・ 直線 æ=2 ⑦ ① ア ①とæ軸の二等分線
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(3) > 軌跡ア: 直線 ① (15x-8y-30=0)とx軸からの距離が等しい 点をP(X, Y) とすると | 15X - 8Y-30| = =Y V152 + 82 ∴|15X-8Y-30| =17Y ∴. 15 X - 8Y - 30 = ± 17 Y ∴|15X-8Y-30| =17Y X > 2, Y > 0 より Y = 3 5 6 -X 5 軌跡①:直線②とx軸からの距離が等しい点の軌跡は, で 求めた直線と x=2に関して対称な直線だから X < 2, Y>0より > 軌跡ウ:直線 X = 2 以上より || 3-5 3 6 Y = X+ 5 5 6 x (x>2) 5 6 x+ (x <2) 5 A || x= 2 3 5
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