Question

智

つぎの関数が与えられた点で極地をとるかどうか漸近展開を用いて調べよ、という問題でf(x)=x^2sinx-x^3e^xという関数でx=0です。
分からないのは式変形の下から2行目で、なぜランダウの記号のマイナスの部分が消えるのか分かりません。

どなたか教えて下さい。

《解答例》
(1)
げ(Z) = z7sinz一zeと置く。

げゅ)- 70)

 

 

よってzが十分小さいときは負になるから、
げ(z) < げ(0)である。よってげ(z)はz ニ 0で極大と
なる。

微分積分 解析学 テーラーの定理 ランダウの記号

Answer 1

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Crystal Clear

g(x)=o(x^4), h(x)=o(x^4)
とすると、定義から
x→0のとき、g(x)/x^4→0, h(x)/x^4→0
このとき、
(g(x)-h(x))/x^4
=g(x)/x^4-h(x)/x^4
→0-0=0
よってg(x)-h(x)=o(x^4)
o(x^4)-o(x^4)=o(x^4)

つまり、o(x^4)とはx^4より小さいような関数のことで、
o(x^4)-o(x^4)=o(x^4)
は
(x^4より小さいような関数)-(x^4より小さいような関数)=(x^4より小さいような関数)
と言っているだけです。

智

なるほど、そういうことなのですね！ありがとうございます！

智

度々すみません、-x^2×o(x^2)=o(x^4)になるのも同じような理論でしょうか？

Crystal Clear

そうです。
g(x)=o(x^2)とすると、
g(x)/x^2→0 (x→0)
このとき
(-x^2 g(x))/x^4=-g(x)/x^2→0
よって(-x^2 g(x))=o(x^4)
ゆえに-x^2 o(x^2)=o(x^4)

o(x^n)の代表例としてx^(n+1)を考えれば、自然に感じられると思います。
今回の例では、
-x^2 (x^3のようなもの) =(x^5のようなも)