Question

ɐ

ε-N論法について、なぜこれが成立するのかを教えていただきたいです。
授業で習ったのですが、任意の正の数εに対して［n≧Nならば|An-α|<ε］を満たす自然数Nが存在する　という条件が全く理解できません。
|An-α|<εという式のAnに数列の式を、αにその数列の極限を当てはめて移行してnの値を求めるという作業までは分かります。ですが、なぜそもそも［n≧Nならば|An-α|<ε］という式が成り立つのか（覚えるしかないのでしょうか）が分からず、そこからn≧Nを導ける理由を理解していません。よろしくお願いします。

ε-n論法 イプシロンエヌ論法 解析 数学

Answer 1

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いぬ

これは定理ではなくて、定義ですので覚えるしかありません。この条件が成り立つとき、lim[n→∞]An=αが成り立つというのです。

簡単に言うと次のようになります。
めっちゃ小さい任意の正の値εをもってきます。どんなεであってもnを十分大きく(N以上)とれば、|An-α|<εが成り立つ。そういうNが必ず存在しますよということです。
Nの値はεによって変わってきます。

ɐ

やはり定義なんですね、、ありがとうございます😭
ですが少し引っかかるところがあって、極限値を証明するのに最初からその式に当てはめてしまえるところがいまいちわかりません。その式に仮に極限値を入れてみて計算をしていくとこうなるから、この値が極限値と言える　ということを証明しているのでしょうか？

いぬ

そうですね。極限値はグラフやコンピュータで予想します。高校数学でもニュートン法だとか力学系の話題が出てきますよね。
それが極限値であることを厳密に示すためにこの論法やε-δ論法を用いるのです。

いぬ

より正確に言うと、この式を満たす値αのことを極限値とよぶ(定義する)のです。

ɐ

ありがとうございました😭