Question

なず

この積分はどうやって解きますか？

∫[0, 1] y²/(y²+1)³ dy

べき乗型、部分分数分解、tant置換もやってみたんですが解けなかったです。
また、結果は知ってますが、reduction formulaを使ってるようです。この公式の日本語を知ってる方はいますか？

よろしくお願いします。

2
り
販請語
(9 十1)

Write yas9?"十1一1andsplit:

9 十1         1
em
(2+1" (の+1)

1        1
Ft
(2者にに(2者遇

Apply linearity:

か 記  放記 了

 

 

 

Now solving:
上
計y革
(2宇和
Apply reduction formula:
1               2nー3            1                         グ
/   2    ュ d9三    ー                ュー1 d9                   ュー1
(ag*十b)          2b(nー1) (az2 上)             2b (ュー1) (ay? 十b)

NIINtoキ補欠Yeーータ6

グ   5 1
はにE学設は8主
2(2キ1 2 2エエンマ

Now solving:

中
d
人半 時

This is a standard integral:

 

三 arctan(9)

Plug in solved integrals:

 

グ   4 1
1絆上暗    d
2(2+1) 27+T1 "

_ arctan(9 E    9
時      2(9二1)

Now solvind:

1
ーー ーー_d
誠志  も

Apply the last reduction formula againwitha三1bニ1nー3:

 

9          3         1
三          の  |             5 dy
4(92二1) 47 (の2+1)

Now solving:

1
/ (〆%+1) 半

Use Drevious result:
arctan(9)        グ
2           2(9十1)

Plug in solved integrals:

 

ダ          3         1
半             3 dy
4(2 1) 47 (2+1)

3arctan(9)          3            グ

9           8 (の十1) 4(2 1
Plug in solved integrals:
上                    中
/        > dy   /        3 dy
(ゲ+1)            (ゲ+1)

9              9
9         8(の十1) 4(2T1)*

 

The problem is solved:

 

 

Rewrite/simplify:

arctan(9) 。 のゲータ

3上83862T 1 |

〇

積分

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

HS

x=tanθの置換でできると思います。
一般論としても、途中式を示してもらった方が
手っ取り早いと思います。

reduction formulaは知りませんが、
検索した限り（ここでは）積分漸化式群の一つのようです。
これを導いて解かせたいなら、
当然誘導の小問があるでしょうし、
少なくとも覚える必要性は感じられません。

なず

回答ありがとうございます。

置換して ∫[0, π/2] tan²t cos⁴t dt で進めなくなりました。

reduction formulaは検算に使えるんじゃないかなと思ってちょっと覚えてみたいです。

HS

cosθtanθ=sinθです。

なぜ公式？が成り立つのかを考えるのは有用ですね。
覚えるのは牛刀割鶏とは思いますが、自由です。

なず

あ、わかりました。なんか書いたときcosを分母のほうに書いちゃったようで解けなかったんです。お恥ずかしい。