✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
C'やCは積分定数とします.
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(1)
(e^x+1)'=e^xなので置換積分から∫e^x√(e^x+1)dx=(2/3)(e^x+1)^(3/2)+C
(2)
u=x-1と置くと, x=u+1, dx/du=1. ∫x/(x-1)^3=∫(u+1)/u^3 du=∫du/u^2+∫du/u^3+C'=-1/u-1/2u^2+C=-(2u+1)/2u^2+C=-(2x-1)/2(x-1)^2+C
(6)
(x^2+1)'=2xなので部分積分から∫2xlog(x^2+1)dx=(x^2+1)log(x^2+1)-∫(x^2+1)*{2x/(x^2+1)}dx+C'=(x^2+1)log(x^2+1)-x^2+C
(7)
(1+x^2)'=2xなので置換積分から∫xcos(1+x^2)dx=(1/2)*sin(1+x^2)+C
(10)
(√x)'=1/2√xなので部分積分から∫(13/2√x)log(x)dx=13{√xlog(x)-∫√x*(1/x)}+C'=13√x(log(x)-2)+C [答えが間違っている]
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部分積分は積の微分(uv)'=u'v+uv'を積分して∫(uv)'dx=∫u'v dx+∫uv' dx⇔∫u'v dx = uv-∫uv' dx
どちらの項を微分, 積分するのかをしっかり分かっていないと泥沼に陥ります.
計算練習を積むことで慣れましょう.
名古屋大学の山上先生が書いたまとめが非常に参考になると思います.
入学試験でどういうところを見ているのかも分かるので, 高校生でも得るところは多いと思います.
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/arsintegral2019.pdf
ありがとうございます！！
繰り返し練習してみます。