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おそらくですが、XY平面でのその図形は写真のようになっていると考えられます。写真からθが-1/2πから1/2πになるのはたぶんわかると思います。
次にDをEにする方法ですが、自分もその系統の問題を解いたのが結構前なので、合ってるかはわかりませんが、確か円の場合XYで二重積分するより、弧度法を用いた二重積分の方が楽に計算できるため、変換していると考えられます。
そのために、x＝rcosθ、y＝rsinθにしているのです。そして下から2行目の計算は勝手にxyを別の物に置き換えているため、その調整をするための文字を出す式だと考えられます。
そして最後の積分で
置き換えた物×調整用の値
として二重積分を行なっているのではないでしょうか？
読みにくい文章ですみません
これでも解けない、となれば、たぶん教科書にきちんと載っているはずなので見直してみてはいかがでしょうか？、
あ、ごめんなさい
勘違いしてました
下の方の考え方が正しいです