Question

ゲスト

x>0に対して、f(x)=logx/xとおく。
(1)f(x)の増減を調べ、極値を求めよ。

(2)曲線y=f(x)の概形を描け。ただし、曲線の凹凸は調べなくてよい。
必要ならば、lim(x→∞)f(x)=0を用いてもよい。

教えてください、

Answer 1

Hiro

最初の式ですが、

f(x)=(logx)・x^-1ってことですよね？

積の微分なので
f'(x)=(logx)' ・(x^-1) + (logx)・(x^-1)'

これを使って増減表を書いておしまいです。

増減表を書くために極値を求めて

※極値
f'(x)=0になるようなxの値を、
f(x)に代入してもとまる値です

極値を求めたら
その前後のxでf'(x)の正負を判定すれば極値前後の傾きがわかり概形が書けます。

あとは、グラフ描画範囲で関数が連続しているようなら、増減表にしたがって適当に滑らかな曲線で描けばOKです。

計算自体は基礎であり、重要な部分なので、難しいようなら教科書を参考に解いてみてください。

Hiro

あと、x>0なのでx<0の部分にはグラフを描かないように注意してください。

今回は関係ありませんが、仮にグラフがy軸に交点を持つ曲線であった場合で、x>0などの条件がある場合はグラフを書く際に「グラフとy軸の交点を○(白抜きの丸)でプロット」してください。
「その点は含みません」という意味になります。

境界や、連続かどうかは、微積分でしばしば重要になることがありますので、普段から意識しておくといいでしょう。