解と係数の関係より、
α+β=3,αβ=5
(i)n=1のとき、
α+β-3=0
より成立。
(ii)n=iのとき成り立つと仮定する
n=i+1のとき、
(α+β)ⁱ⁺¹=3ⁱ⁺¹
=αⁱ⁺¹+ᵢ₊₁C₁αⁱβ+ᵢ₊₁C₂αⁱ⁻¹β²+...+ᵢ₊₁Cᵢ₋₁α²βⁱ⁻¹+ᵢ₊₁Cᵢαβⁱ+βⁱ⁺¹
なので、
αⁱ⁺¹+βⁱ⁺¹=3ⁱ⁺¹-(ᵢ₊₁C₁αⁱβ+ᵢ₊₁C₂αⁱ⁻¹β²+...+ᵢ₊₁Cᵢ₋₁α²βⁱ⁻¹+ᵢ₊₁Cᵢαβⁱ)
よって、
αⁱ⁺¹+βⁱ⁺¹-3ⁱ⁺¹=-(ᵢ₊₁C₁αⁱβ+ᵢ₊₁C₂αⁱ⁻¹β²+...+ᵢ₊₁Cᵢ₋₁α²βⁱ⁻¹+ᵢ₊₁Cᵢαβⁱ)
=-αβ(ᵢ₊₁C₁αⁱ⁻¹+ᵢ₊₁C₂αⁱ⁻²β¹+...+ᵢ₊₁Cᵢ₋₁αβⁱ⁻²+ᵢ₊₁Cᵢβⁱ⁻¹)
=-5 (ᵢ₊₁C₁αⁱ⁻¹+ᵢ₊₁C₂αⁱ⁻²β¹+...+ᵢ₊₁Cᵢ₋₁αβⁱ⁻²+ᵢ₊₁Cᵢβⁱ⁻¹)
したがってn=i+1のときも成り立つので、題意は示された。
見にくくて申し訳ないです
