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合成関数の定義というよりは、より当たり前に考えることが重要ではないでしょうか？
合成関数とは、2つの関数を合成するということ。
これは代数学でいうところの代入法の原理に似ていて
代入法の原理とは、例えば
y=f(x) かつ x=k
⇔y=f(k) かつ x=k
であるように、
「2つの条件式」
⇔「一方をもう一方に組み込んだ式」かつ
「組み込んだ方の式」
となる原理を言います。
これを前提に、2つの関数
u=f(x) かつ y=g(u)
⇔y=g(f(x)) かつu=f(x)
がなりたつことが分かります。これが合成関数と呼ばれるものですね。
さて、れいさんはどうして「f(x)の値域…」なのかわからないということですが、
例えば上の代入法の原理を用いて考えると、
u=f(x) のxは当然f(x)の定義域内に存在します。
そして、y=g(u) のuもg(u)の定義域内に存在します。
我々は、f(x)のxがf(x)の定義域内を動くときの範囲をf(x)の値域と呼ぶわけですから、
xが定義域内にある→uはf(x)の値域の範囲を動く
ことは明らかです。
ここで、一旦同値性という所に着目してみたいと思います。同値とは、操作の前と後で解や範囲が等しい操作を指しますが、これは数学をやる上では欠かせない考えですよね。私たちは代入するときに同値性を意識する必要があるのです(つまり操作する前に戻れるようにする必要があるということ)。
私たちはf(x)とg(x)を合成(代入)するという操作を行うとき、「f(x)もg(x)も存在する」というあたりまえの仮定のもとで行なっていることに気づかないと、定義域を無視した解答を作ってしまうのです。
では、話を戻して。
f(x)もg(u)も存在する、という仮定が成り立つ為には、当然x,uが定義域内に存在するということで、
それ即ちf(x)の値域がg(u)の定義域内に存在する事なのです。
…それっぽく言ったつもりなんですけど、分かりましたか…？
すごく詳しい解説ありがとうございます！
なんか悩み過ぎで難しく考え過ぎていたようです……。
ありがとうございました。