(1) 初速度の鉛直方向の成分 : v0y = v0*sinθ [m/s]
初速度の水平方向の成分 : v0x = v0*cosθ [m/s]
等加速度運動の公式(x軸方向に初速度v0、t=0でx=0)
v = v0 + at ...①
x = v0*t + (1/2)a*t^2 ...②
v^2 - (v0)^2 = 2ax ...③
水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとる。
(2)
最高点に達した時に速度の鉛直方向の成分はゼロになるので、①式より
0 = v0*sinθ - g*t
∴ t = v0*sinθ / g [s]
最高点の高さ h は、③式より
0 - (v0)^2 = 2(-g)h
∴ h = (v0)^2 / 2g [m]
※時刻 t のとき、y = hとしてx→yとした③式に代入してもよい。
(3)落下するまでの時間は、運動の対称性より最高点に達した時間の二倍になるので、
t2 = 2*t = 2*v0*sinθ / g
※もしくは、y = 0 として(x→yと読み替えて)②式より計算。
落下した時の水平距離 l は、
l
= v0*cosθ * t2
= v0*cosθ * 2*v0*sinθ / g
= (v0)^2 / g ｛2cosθsinθ｝
= (v0)^2 * sin2θ / g [m] (∵2cosθsinθ= sin2θ)
sin2θ = 1 のときに l は最大となるので、
2θ = π/2 + 2nπ (nは整数)
0<θ<π/2 なので、
2θ = π/2 ∴ θ = π/4 [rad] = 45°
微分して調べてもよい。(この問題の場合は明らかなので不要だが)
l(θ) = Asin2θ (A = (v0)^2 / g とおく)
の最大値を調べる。
関数 y をθで微分した導関数をDθ[y]と書くとすると、
Dθ[l(θ)] = 2Acos2θ
Dθ[l(θ)] = 0として、
cos2θ = 0 ⇔ 2θ = π/2 ∴ θ = π/4 (0<θ<π/2)
軌道の式から計算することもできます。
(y=0とおいてx=lのときのθの最大値)
一般に斜方投射で物体がもっとも遠くへ届く投射角は45°となります。
