まず、i^2=-1を満たすように定義がされています。これは、当初は、二次方程式の解を求めるために便宜的につけられたものでした。これの二乗をはずせば、上記のようになります。群論を用いた解説はわかりません。
すいませんでした。i=±√-1 です。
教科書にはプラスマイナスがないんです。
多分、教科書には
a＞0のとき √-a=√ai とくに √-1=i
みたいに書いてあるのではないでしょうか。
しかしながら、平方根は-√-a もありますよね。
ですから、-aの平方根は、±√-a=±√ai となるわけです。
プラスマイナスがないのは、プラスの場合でしか考えていないからではないのでしょうか。もしプラスしかなかったら x^2=-12の解は√-12=2√3i となってしまいます。 正解は±2√3iですよね。
なぜ-√-1は存在しないのでしょうか？