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(1)
t = log_3(x)とします。ただし、真数は正なのでx > 0.
このとき、y = t² - 2t = (t - 1)² - 1
よってt = 1のとき最小値-1をとり、最大値は無し。t = 1のときlog_3(x) = 1なのでx = 3. こればx > 0を満たす。
従って、x = 3のとき最小値-1をとる。
(2)
t = log_2(x)とする。真数は正なのでx > 0. また、1 ≦ x ≦ 32より log_2(1) ≦ log_2(x) ≦ log_2(32)
すなわち0 ≦ t ≦ 5 ･･･ ①
このとき、
y = -(log_2(4))² + 4 log_2(x) = -t² + 4t = -(t - 2)² + 4.
この2次関数を①の範囲で考えるとt = 2のとき最大値4をとり、t = 5のとき最小値-5をとる。
t = 2のときx = 4, t = 5のときx = 32であり、これらはx > 0を満たす。
従って、x = 4のとき最大値4, x = 32のとき最小値-5をとる。
(3)
t = log_3(x)とする。ただし、x > 0. また、1 ≦ x ≦ 81より, log_3(1) ≦ log_3(x) ≦ log_2(81)
すなわち0 ≦ t ≦ 4 ･･･ ②
log_3(x/27) = log_3(x) - log_3(27) = t - 3
log_3(3x) = log_3(3) + log_3(x) = 1 + t
に注意すると、
y = (t - 3)(t + 1) = t² - 2t - 3 = (t - 1)² - 4
この2次関数を②の範囲で考えるとt = 1のとき最小値-4をとり、t = 4のとき最大値5をとる。
t = 1のときx = 3, t = 4のときx = 81であり、これらはx > 0を満たす。
従って、x = 3のとき最小値-4, x = 81のとき最大値5をとる。
二次関数なので、軸の位置と定義域が分かれば最大最小がすぐ分かります。
例えば(2)なら、写真のようにグラフが描けて、赤線からオレンジの線までの範囲における2次関数の最大はAのときで、最小はBになることが分かります。
(1)では、下に凸の2次関数なので最小となる点は頂点であることが分かります。
なるほど！！ありがとうございます🙇♀️🙇♀️
(1)は範囲がないのになぜ最小値がマイナス1ってわかるのですか？🙇♂️