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前半……判別式D=b²-4acは、2次方程式に対するもので、
それ以外には使えません
x²の係数が0になると、x²の項は消え、1次以下になります
方程式のx²の係数が0になる可能性があるときは、水色のように
[1]x²の係数=0の場合 [2]x²の係数≠0の場合
のように場合分けします
後半……図に描きました
前半
「定数k」だけでは、x²の係数が0になる
（=1次方程式になる）とは限りません
たとえば
3x²+4kx+5=0なら、
x²の係数3が0になることはないので
場合分けはいりません
kx²+4x+5=0なら、
x²の係数kが0になることはありうるので
場合分けします
(k²-4)x²+4x+5=0なら、
x²の係数k²-4が0になることはありうるので、
場合分けします
(k²+4)x²+4x+5=0なら、
x²の係数k²+4が0になることはないので、
場合分けはいりません
何回も言うようですが、
x²の係数が0になるかどうかで場合分けします
後半
模範解答にもある通り、あなたの答案は
x²の係数k²-4が0でない（すなわちkが2でも-2でもない）
つまり「この方程式が2次方程式である」場合の話です
したがって、2や-2を除きます
前半ー今回は定数kとかいてあって一時的の場合があるからってことであってますか？
後半ーk=2,-2の場合をのぞくのはなんでですか？