✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
(1)
f(x)とg(x)がともにAを通るので、その点のx座標をtとすると、
t³ - at² + 2t + 16 = -9t² + 3t + 15 ･･･ ①を満たす。
次に、Aにおける接線が一致するので、接線の傾き(微分係数)が一致する。よって、
3t² - 2at + 2 = -18t + 3 ･･･ ②
①を整理するとt³ - (a - 9)t² - t + 1 = 0 ･･･ ③
②を整理すると2(a - 9)t = 3t² - 1 すなわち
2(a - 9)t² = 3t³ - t ･･･ ④
③の両辺を2倍して④を代入すると、
2t³ - (3t³ - t) - 2t + 2 = 0すなわちt³ + t - 2 = 0
これを解くと、(t - 1)(t² + t + 2) = 0でt² + t + 2 = 0は実数解を持たないのでt = 1. g(1) = 9なのでAは(1,9)
(2)
(1)より、y=f(x)はA(1,9)を通るのでf(1) = 9すなわち、
1 - a + 2 + 16 = 9, 整理すると、a = 10
(3)
まず、2つの曲線の交点を求める。条件から、点Aでf(x)とg(x)は接しているので、x=1はf(x)=g(x)の重解である。f(x)=g(x)を因数分解すると、(x - 1)²(x + 1) = 0
よって、交点のx座標はx=±1
なので、求める面積は-1 ≦ x ≦ 1で、(上の関数)-(下の関数)を-1から1まで積分すればよい。例えばf(0)=16、g(0)=15なので、-1 ≦ x ≦ 1においてf(x) ≧ g(x)である.
よって面積は
∫[-1→1] (f(x) - g(x)) dx = ∫[-1→1] (x³ - x² - x + 1)dx
= [x⁴/4 - x³/3 - x²/2 + x]_[-1→1]
= (1/4 - 1/3 - 1/2 + 1) - (1/4 + 1/3 - 1/2 - 1)
= 2 - 2/3
= 4/3
