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のあ様
急ぎの質問ということでしたが、回答が遅くなってすみません。
提示されている２つの式の使い道は大きく違うので、使い方を間違われないようにするので重要なことです。
まず１つ目の式は、n種類選択肢がある中でr回選択ができます。ただ順列ではなく組合せを考えるときに使います。
組合せの場合の総数 = n+r-1Cr 通り
（順列の場合の総数 = n^r 通り）
２つ目の式は、並べるものはすべて決まっていてそのなかで順番をかえる方法は何通りあるかという問題です。
n個のものをただ並べるだけであれば、n! 通りなのだが、この式の場合はそのn個のなかには同じものが含まれているので、その分減り書かれているような式になります。
参考になるといいですが、どうでしょうか。
分からない箇所があれば、またたずねてください！
あと、いまいち重複組み合わせを使う問題がわからないです。わかりやすく教えてくれるとありがたいです
追加質問を２つ承りました。
①もしかしたら、のあ様は順列はP、組合せはCを使って計算するものだと学習しているのかもしれませんね。
これは間違いではないのですが、基礎問題に対する考え方であり、応用問題を考えるための基盤となります。
Cは、順番を考慮しない場合の数の計算に使用します。
例えばa, b, cの並べ方は 3!=3×2×1 で 6 通りとなります。abc bac acb bca cab cba
これが同じものを含む順列の問題になると、a, a, c の並べ方を考える問題に変わります。上の問題からb→aに変わったと考えると
aac aac aca aca caa caa
となり同一のものが出てき、答えは３通りとなります。この問題は順列の問題ですが、2個のaの順番は考慮しないので場合の数を求める計算式は、3C2×1C1 となり、Cを使うことになります。
並び方を考えるのにCを使うのは、このように考える過程のなかで順番を考慮しない部分が出てくるからです。
②重複組合せを使う問題の例です。
ケーキ屋さんに行きました。10人にケーキを1個ずつ買います。ケーキはショートケーキ、チーズケーキ、モンブランの 3 種類です。10個のケーキの選び方は何通りあるでしょうか。
（式）
3+10-1C10 = 12C10 = 66
(答)
66通り
といった問題が考えられます。
どうでしょう？
ありがとうございます
2つ目はcを使っているのに、並び方を考えてるんですか？