Question

高校生

スセソタを求める時は、Dを通るのが、60通りあるのに、×60していないのに、ツテトナニを求めるときは、66をかけ、また、Cを使わず、66をかけるだけで終わっているのはなぜですか？

第4問 (配点 20)
太郎さんと花子さんの住む町の街路は,すべて次の図のような碁盤の目のよう
になっている。 次の間は街路図の一部である。 交差点の太さんの家が
り、交差点Bの横に花子さんの家がある。 さらに, 交差点Cの横にケーキ屋があ
り、交差点Dでは工事をしていることがある。
B
24
北4-南
東
第2回 数学Ⅰ 数学 A
(1)太郎さんは街路上のみを移動し, 花子さんの家まで最短距離で進む。 すなわ
ち,北向きと東向きにのみ進み, 南向きと西向きには進まないものとする。
このとき,交差点Aから交差点Bまでの移動の仕方はアイウ通りある。
このうち,交差点Cを通るような移動の仕方はエ通りあり、交差点 D
を通らないような移動の仕方はカキ 通りある。また、交差点CとDの両方
を通るような移動の仕方はウケ通りある。
36
66
60
126
次に,太郎さんはアイウ 通りのうちの一つの移動の仕方を無作為に選び,
選んだ移動の仕方に交差点Cを通ることは良いことで、交差点を通ること
は良くないこととして、次のような得点をつけることにした。
126
A
5
ID/
図
交差点Cを通り、交差点Dを通らない移動10点
交差点CDをともに通る移動
912
126
交差点Cを通らず, 交差点Dを通る移動......... 1点
交差点C,D のどちらも通らない移動 4点
............
8点 36
2.98
126
24
24 2
288126
90
126
360
36
(数学Ⅰ 数学A 第4問は次ページに続く。)
このとき、得点の期待値は
126
コサ
90
584
シ
点である。
384
18

D
(2) ある日、交流点では工事をしての前に建設が溢れてい
とがわかっていた。そこで太郎さんは次の規則に従って散歩しようと思って
いる。
規則
① 街路上のみを移動する。
②太郎さんの家を出発し, 交差点でコインを1枚投げ 表が出ると
北向きに隣の交差点に移動し、裏が出ると東向きに隣の交差点に移動
する。
③ 交差点に達すると、 再びコインを1枚投げ, 表が出ると北向きに隣の
交差点に移動し、裏が出ると東向きに隣の交差点に移動する。
④③を8回以上繰り返す。
⑤ 交差点Dに達したときは, コインを投げずに北向きに隣の交差点に
移動する。
⑥ 花子さんの家が横にある交差点Bを通ると, 花子さんの家に立ち寄る。
第2回 数学Ⅰ 数学A
太郎さんが,太郎さんの家から出発し、交差点Dに達して,かつ花子さんの
スセ
家に立ち寄る確率は
であり,交差点Dに達せずに花子さんの家に
ソタチ
シテ
立ち寄る確率は
である。
トナニ
したがって,太郎さんが花子さんの家に立ち寄ったとき, 交差点Dに達し
ている条件付き確率は
ヌネ
である。
B
B
西
北4南
東

EDより
DE
E-DM
3.2/6
4! 5!
2!2!2!3!
=6・10=60 (通り)
交差点Aから交差点Dを通り交差点Bに移動する仕
方は,同様に考えて
5! 4!
寄るのは,コインを9回投げて, 表が4回 裏が5回
出る場合で, D を通るような表裏の出方を除いた場合
である。 このような表裏の出方は (1) より 66 通りで
あるからこのときの確率は
=10.6=60 (通り)
2!3! 2!2!
66
56 (1/1) (12) -
33
256
る。
したがって, 交差点Dを通らない移動の仕方は
126-6066 (通り)
したがって, 太郎さんが花子さんの家に立ち寄ったと
き, 交差点Dに達している条件付き確率は
また,交差点C, D の両方を通って, 交差点Aから
交差点Bまで移動する仕方は、2個の北と2個の中
を1列に並べ、次に,その後, 2個の北と2個の
を1列に並べる順列の総数に等しいから, 交差点
CとDの両方を通るような移動の仕方は
15
128
10
問
=
15
33
21
+
128 256
AC を軸に
ある円すいの体験
直線AC
てできる
I2.EI
4! 4!
2!2!2!2!
=6.6=36 (通り)
以上から, 126通りのすべての移動の仕方を全体集合
とし 交差点Cを通るすべての移動の仕方を C, 交
差点D を通るすべての移動の仕方をDで表すと,そ
の移動の仕方は
CD
60-36=24 (通り)
C∩D...... 36 (通り)
©ND 60-36=24 (通り)
CND 126- (24+36+24) 42 (通り)
(C, Dはそれぞれ交差点 C, D を通らない移動の
仕方を表す )
得点と確率を表にまとめると
解説
得点 10 8
確率
1
4 計
24 36 24
126 126 126 126
42
1
得点の期待値は
易度・★
10x
こと
24
126
36
24
42
+8x
・+1x
+4x
126
126
126
17
40
(2) コインを1枚投げたとき 表が出る確率は
子さん
4個の
が出る確率も である。
いか
太郎さんが交差点Dに達して, かつ花子さんの家に
3/2
2'2'
"N
立ち寄るのは,コインを5回投げて, 表が2回, 裏が
3回出た後, 北向きに移動し、その後コインを3回投
げて表が1回 裏が2回出る場合であるから,その確
率は
6
15
5C21
=
128
太郎さんが交差点Dに達せずに花子さんの家に立ち

Answer 1

和

(1)のDを通る:60、Dを通らない:66は、
工事をしていない場合です

(2)は工事をしていてDから東への道は通れません
Dを通らないならば、そもそも
Dから東への道は通らないので、
66がそのまま使えます

Dを通るときは、60のうち
「Dから東への道」を通る5C2×3C1 = 30は除き、
「Dから北への道」を通る60-30 = 30
（もしくは5C2×3C1 = 30と計算してもよい）
を使うことになります