Question

チー

下の練習問題を上の例題と同じ解き方で解くやり方を教えてください！

両辺の同じ次数の頃の係ない
h = 2, -1..
4
2-106
42
00000
重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし,f(0)=1
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
5等
[ 一橋大 ]
基本15
基本事項
指針 例えば,f(x)が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+cとおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x)が何次式か不明である。
→f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax+bx-1+
1 恒等式
なお, f (x) = (定数) の場合は別に考えておく。
(a≠0n)とおいて
進める。f(x+1)-f(x)の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較するこ
とで次数と係数 αを求める。
1 Aが
2 A,
3 A-
2 条件つ
与えら
3比例
f(x)=c(cは定数) とすると,f(0)=1から
解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから,不適。
よって、f(x)=ax"+bx"-1+...... (a≠0, n≧1)* とす
ると
f(x)=1
この場合は, (*)に含ま
れないため、別に考えて
いる。
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)"+6(x+1)"-1+.....
-(ax" + bx" -1+......)
4(x+1)"
=anx-1+g(x)
ただし,g(x)は多項式で、次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから, 最
高次の項を比較して
=x+nCix"-1+nCzx-2+...
のうち,
a(x+1)"-ax"の最高次
の項は anx-1 で残り
の頃はn2次以下とな
る。
①から
n-1=1 ...... ①an2...・・・ ②
n=2
ゆえに ②から
a=1
c=1
このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から
anx"-1と2x の次数と
係数を比較。
またf(x+1)-f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが,
結果は同じ。
=2x+6+1
よって
2x+6+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから
b+1=0
係数比較法。
すなわち
6=-1
したがって
f(x)=x-x+1
POINT 次数が不明の多項式は,n次と仮定して進めるのも有効
練習 f(x) は最高次の係数が1である多項式であり,正の定数 α, 6に対し、常に
③21 f(x2)={f(x)-ax-b}(x2-x+2) が成り立っている。このとき, f(x) の次数およ
びα, bの値を求めよ。

青チャート

Answer 1

Miya

とっかかりだけ大雑把に書きます。解答にするならもっと丁寧に書く必要あり。

例題のように、まずは与式の両辺の次数を比較します。
(i)f(x)＝1のとき、与式は0次＝3次となり不適
(ii)f(x)が一次式のとき、与式はa≠1の時2次＝3次となり不適
a=1の時f(x)=x+cとおき、与式の両辺を比較するとおかしい事になるので不適
(iii)f(x)がn次式(nは2以上)のとき、与式は2n次＝n+2次となるので、n=2

よってf(x)=x^2 + cx + dと置ける。
あとは与式に代入して係数比較。