Question

かなかな

この問題は第一次導関数だけで考えちゃダメですかね

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基本 例題 93 不等式の証明 (2)
00000
x>0 のとき, √1+x>1+1/2
8
1+1/2x-1/23x2 が成り立つことを示せ。
基本 92
CHART & SOLUTION
大小比較 差を作る
1 {f(x)-g(x)の最小値}>0 を示す
② 常に増加ならば出発点で 0
③ f'(x) でわからなければf" (x) を調べる
f(x)=√1+x(1+1/2x-1/28x2)としてf'(x) を求めても,f(x)の符号の変化を調べる
は難しい (inf を参照)。 このような場合はf'(x) を求めてf'(x) の値の変化を調べる
よい。 ③の方針
→
解答
f(x)=√1+x
(1+1/x/1/22)とすると
f(x)=241+(1/2/1/11)
f"
2√1+x
f(x)=-4(1+x)+/1/17
3
(√1+x)-1
4(v1+x)
inf. f'(x) = 0 とす
1
=
1 1
-x
2√1+x 2 4x
2=(2-x)√1+x
両辺を2乗して整
2(x-3)=0
x>0 とすると x
これは①を満たさ
ゆえに,x>0の
よって,x>0 のとき f" (x)>0 であるから,f'(x) は x≧0 f'(x)=0を満た
で増加し f'(x)>f'(0)
在しない。
f'(0) = 0 であるから, x>0
f'(x)>0
したがって、f'(x
ゆえに、f(x)はx≧0で増加し+1)
において,連続で
f(x)>f(0)
H
常に正または負の
ことになる。ここ
f(0) = 0 であるから, x>0 のとき
f(x)>0
(3)1/12
したがって
√1+x>1+x-x²
2
82
から,x>0 のと
f'(x)>0 である

15193 for = √1+x=(1+3x-82²)
2
=tx-1-2x+
1.
×70でf(x)=25-24
4
=0のとき、x>0で常にg'>o
x=0のときy=0であることから
f(x)はxにおいてf(x)>
よって、取〉け
2
―x++
7517x
-
-√1+x
TEX

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

f'(x)の式の通分の間違いです
-√… / 4√…になったとしても、
これは約分して-1/4です
つねにf'(x)ということになります

f'(x)を見ても、これが正である判断がしにくいから
f"(x)を調べるというという流れです
まさにchart&solutionに書いてある通りです

かなかな

ありがとうございます！