思考プロセス
例題 213 完全順列
★★★☆
15人がそれぞれプレゼントを持ち寄り,それらを1つずつ分配してプレゼ
コント交換をするとき, 次のような場合は何通りあるか。
(1) 2人が自分のプレゼントをもらい, 残り3人が自分以外の人のプレゼ
ントをもらう場合
(2)5人すべてが自分以外の人のプレゼントをもらう場合
5人をA~E,それぞれのプレゼントを a ~e とする。
Bがαをもらう (1) の
前問の結果の利用
(2)Aがりをもらう
↑
Bがcをもらう
c,d, e の場合も同様
de の場合も同様
を利用
... a, d, e
⇒人... C, D, E プレゼント...
具体的に書き上げる方が早い。
RoAction 複雑な場合の数は,基準を定めて重複や漏れのないように数え上げよ 2011
自分で定めた基準をもとに, 樹形図や辞書式配列法を利用するとよい。
解 5人を A, B, C, D, E とし, それぞれのプレゼントをα, 1
b, c, d, e とする。
(1) 自分のプレゼントをもらう2人の選び方は2通り
残り3人のプレゼントのもらい方は,
A B C
右の図より 2通り、
b-c-a
よって 5C2 ×2=20 (通り)
c-a-b
(2)Aがもらうプレゼントは, b,c,d, e の4通りある。
DEが自分のプレゼント
をもらった場合, A, B, C
が異なるプレゼントをも
らうのは、左の図の2通
りである。
Aが6をもらうとき, Bについて場合分けすると
(ア) Bがαをもらうとき
()
残り3人のプレゼントのもらい方は,(1)より2通り C,D,Eがそれぞれc,d,
(イ) B がα 以外をもらうとき
Bがcをもらうとき, 右の図よ
り3通りあり、Bがd, e をもら
うときも同様に3通りずつある
から 3×3(通り) (
B C D E
- e-d
C
De-a-d
-e-a
(ア)(イ)より,5人とも自分以外の人のプレゼントをもら
うのは 2+3×3=11 (通り)
ISHL
Aがc,d,eをもらう場合も同様に考えると,求める場
合の数は 11×4=44 (通り)
Point... 完全順列
1~nの数字を1列に並べ
から自分以外の人のブ
レゼントをもらう。
●Bがcをもらった場合、
C, D, E が自分以外の人
のプレゼントをもらうの
は、左の図の3通りであ
る。
