Question

もももも

なぜ3の倍数で考えるんですか？？？

Example 12 *****
整数nは 1≦x≦100 を満たす。 n, n+2, n+4 がすべて素数となる整数
nは何個あるか。
[16 自治医大 ]
解答 まず,n, n+2,n+4のいずれか1つは3の倍数である
ことを示す。
nはn=3k,n=3k+1, n=3k+2 (kは整数) のいずれか
の形で表される。
Key nを3で割った
余りで分類し,n,n+2,
n+4のいずれか1つ
が3の倍数であること
を示す。
BUA (1)
[1] n=3k のと
nは3の倍数である。
[2] n=3k+1 のとき
n+2=3k+3=3(k+1) であり, k +1 は整数であるから,
n+2は3の倍数である。
[3] n=3k+2 のとき
n+4=3k+6=3(+2) であり, k +2 は整数であるから,
n+4は3の倍数である。
[1]~[3] から, n,n+2,n+4のいずれか1つは3の倍数で
ある。
よって, n, n+2, n+4 がすべて素数であるとき,いずれか
1つは3である。
n=3のとき, n+2=5,n+4=7 であるから,n, n+2,
n+4 はすべて素数である。
n+2=3のとき, n=1 となり, 1は素数でないから、不適。
n+4=3のとき, n=-1 となり, 1≦x≦100 を満たさない
から,不適。
以上から,n, n+2, n+4がすべて素数となる整数nは,
n=3の1個である。 答
つの
である。
低
Support 3の倍数で
素数であるものは3の
みである。
という
((S)

約数

Answer 1

和

この画像の説明だけだとよくわかりませんが、
具体的な数で実験してみるとわかります

n=1のとき3数は1,3,5（1は素数でないので❌
n=2のとき3数は2,4,6❌
n=3のとき3数は3,5,7⭕️
n=4のとき……これ以降、nが偶数なら絶対に❌ですね
n=5のとき3数は5,7,9❌
n=7のとき3数は7,9,11❌
n=9のとき3数は9,11,13❌
n=11のとき3数は11,13,15❌
……
ほとんど❌のようです
n=3しかなさそうですが、本当に他にないかどうか？

偶数が入るものは絶対ダメです
奇数が入るものについて、よく見ると
連続する3つの奇数には必ず3の倍数が1つ含まれていそうです

3の倍数のうち、素数なのは3だけなので、
3以外の3の倍数が含まれたらダメです
つまり、やはりn=3の場合の3,5,7しかなさそうです

ということで、上の
「連続する3つの奇数には必ず3の倍数が1つ含まれている」
を示すことになります

知識や経験によっては、もっとスマートに進められそうですが、
このように具体的に見てみるだけでも
うまくいけることもよくあります