Question

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1枚目の写真の赤線を引いているb1=1、c1=2の部分が分かりません。なぜb1=1、c1=2となるのですか？どなたか教えてほしいです！

n=2のとき
最後尾が赤のとき, 1両目は何でもよい。
と数学的帰納法
(113)
B1-
最後尾が赤以外のとき, 1両目は赤でないといけない。
解答
n=3のとき
最後尾が赤のとき,2両目は何でもよい.
このとき,1両目の塗り方は n=2のときと同じである。
最後尾が赤以外のとき, 2両目は赤でないといけない.
このとき,最後尾が青のときと黄のときのそれぞれについて, n=2のときの2両
目が赤のときの塗り方だけ1両目の塗り方がある.
このように、最後尾が赤の場合と赤以外の場合で考えてみる.
条件を満たすn両の車両の塗り方の数を am, そのうち最
後尾の車両が赤である塗り方の数を b, 最後尾の車両が赤
以外である塗り方の数を
とする。
すなわち, an=bn+an.......①
ここで(+1) 両目について考える(kは正の整数)
(k+1)両目が赤のとき,k両目は赤,青,黄のいずれでも
よいので,
~
最後尾の車両の色に
注目して考える.
2両目 1両目
赤
赤
C2
赤
青
青黄赤赤
bk+1=bk+ck
M
一方, (+1) 両目が青,黄いずれかのとき,両目は赤で
なければならないので,
Ck+1=26k …③
ここで,b=1,=2とすると, ②
成り立つので,k≧1 として考える.
③はk=1のときも
② ③より
これより,
bk+2=bk+1+26k
bk+2-26k+1=- (bk+1-26k)
bk+2+bk+1=2(6k+1+bk)
赤赤赤青黄
(k+1) 両目 両目
赤6k+1
赤}6
青
黄
Ck
赤}b
Ck+1
赤}6k
x2=x+2 より
(x-2)(x+1)=0
x=2, -1
④より, 数列{bk+1-26k} は初項 b2-2b=3-2=1,
公比-1の等比数列だから,
bk+1-26k=1・(-1)^-'=(-1)^-1
⑥
k≧2 で考えると
⑤より,数列{bk+1+bn} は初項 bz+b=3+1=4,
公比2の等比数列だから,
⑥ ⑦ より
-3b=(-1)-1-2 b=(2+(-1)"}
③より≧2 のとき,
bk+1+bk=4・21=2k+1
したがって、①より = 1/2(22(-1)^)
-{2k+2_(-1)*}
ak
よって、
{2"+(-1)"}
-{2"+2-(-1)*}(通り)(n≧2)
3
Ca=2bs_1=2.13{2"+(-1)^1=1/2(2'+'-2-(-1)^)
b3-2b2
=(3+2)-2・3=-1
bk+1-2bk
=-1・(-1)*-2
=(-1)-1
-(-1)^^'=(-1)^
第

Think
例題 B1.49 漸化式と場合の数
****
先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn 両編成の列車がある.
ただし n≧2 とする. 各車両を赤色, 青色,黄色のいずれか1色で塗ると
き、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何
通りか.
考え方 まずは具体例で考える.
n=2のとき (2両の塗り方)
n=3 のとき (3両の塗り方 )
(京都大)
1両目 2両目
赤
青黄
1両目
2両目 3両目
F
・
-赤
青
黄
赤
赤
赤
青黄
周 赤
黄
黄
3両のときの2,3両目の塗り方が、2両のときの12両目のときの塗り方と同じバ
ターンであることがわかる.
ここで,車両の番号を合わせるために,それぞれ最後尾の車両に着目して逆にみると
次のようになる。
n=2のとき
2両目
1両目
n=3のとき
3両目 2両目 1両目
黄赤赤
黄
赤
青黄
黄
青
両赤青黄赤恋赤青黄赤青黄
黄
黄

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

希

問題ではn≧2としてnを定義しています。なので、n=1の場合は求めるというより、自分で定義しなければなりません。
n=1のとき、1両しかないのでその塗り方の総数は赤、青、黄の3通りです。
1両のみの場合、この1両が最後尾となるので、赤で塗る場合がb1にあたり、青または黄で塗る場合が赤以外なのでc1になります。よってb1=1, c1=2とすると都合が良いです。

☼

なるほど！確かに1両しかないときはb1=1、c1=2になりますね！理解できました！ありがとうございます😊