Question

やんさん

249番の問題で解答以外の解き方はありますか？

の解をもつような定数αの値の範囲を求めよ。
[14 昭和大 ]
実数 αの範囲を求めよ。
*249 すべての実数xに対して不等式 22x+2+2*a+1-a>0 が成り立つような
[09 東北大]
*250 正の数xyが (10g2x)+(10gzy) 210g22/2y
x2
を満たしながら動くと

が求めるものである。
直線Y=α (X-1) が
点(0, 1) を通ると
き, -1=α(0-1) か
5 a=1
次に,X>0において、
直線Y=α(X-1) と
放物線Y4X2-1
Y1
BAS
10
が接するときのαの値を求める。
Y=α(X-1), Y=-4X2-1 から を消去して
AX2+aX-a+1=0
判別式をDとすると
D=a²-4-4-a+1)=0
よって
+16-16=0
これを解いて
a=-8±4/5
X>0で接するから。 <0 より
a=-8-4/5
図から、求めるの範囲は
-8-4√/5<a≤1

③ より
log; a <
1
すなわち (10gsa)<(12)
あるものである。
直線Y = a(X-1)が
⑦......
③ ④から0<loga <12/2
底5は1より大きいから
<a<√5241)
これは①を満たす。
したがって, 求めるαの値の範囲は
1 <a<√5
1)
判別式をDとすると
Egol-1
よって
1of2014 2
これを解いて
点(0, -1)を通ると
-1=a(0-1)A
きっ
ら
a=1
次に,X> 0 において、
直線Y = a(X-1)と
放物線 Y = -4X2-1
が接するときのαの値を求める
Y=a (X-1), Y = -4X2-1から7
4X2+aX-a+1=0
D=a2-4.4-a+1]=/
2
a2+16a-16=0
1-6,gol
a=-8±45
1-282.1
249 2X とおくと, X> 0 であり、 不等式は
4X 2 + α X + 1 -a > 0 ...... ①
よって, X>0のとき①が常に成り立つような
実数 αの値の範囲が求めるものである。
x>0で接するから,a<0 より
a=-8-4√5
図から, 求めるαの範囲は
-8-4√5<a≤1
f(X) = 4X2+ aX +1 -a とすると1
a²
2
X+
のと
f(x)=4(x+3)-16-a+1
8
[1] 1 0 すなわち a≧0 のとき, 求める条
件はf(0)=1-
250 (1)与えられた不等式から
(log2x)+(10g2y)≦log 210g/170
よって (log2x)+(10g2y)?
ゆえに X2+Y22X2Y
210g2x(10g22/+2
よって al
であるから
0≤a≤1
******
[2]>0 すなわちa<0 のとき. 求める条
件は
整理して
(-)=-16-a+1>0
+16a-16 < 0
したがって X2+Y2-2X+2Y+3
(2) (1)から(X-1)^2+(+1
CAST
2√5 より 0<-8+4/5
よって, 点(X, Y)
これを解いて-8-4√5 <a<-8+4/5
の存在範囲は,中
0
心 (1, -1), 半径
-1+-
1
の円の内部で,
3
√√2
< 0 であるから
-8-4√5<a<0 •••••• ③
[1] [2]から、 ②と③の範囲を合わせて
別解 ①から
-8-4√/5<a≤1
X-1)>-4X2-1 (X>0)
X0 において。 直線Y=X-1)が放物線
Y=4.X-1の上側にあるような傾きの範囲
右の図の斜線部分
のようになる。
ただし、境界線を含む。
(3) logzxy=k とおくと。
らが最大のとき
ここで=log+Yo
よってY=Xk
けが