Question

りんご

(1)の問題についてで、解答はおそらく同値変形をしていると思うのですが、これが少しわかりづらいので、私の回答のように十分条件と必要条件を分けて証明しても良いでしょうか？

ww
(1) 2次以上の多項式 f(x)が(x-a)で割り切れるための必要十分条件
はf(a) =f'(a)=0であることを示せ。
(2)多項式 x4 +
ax + (a+b)x +1が (x-1)2 で割り切れるように定数 α,
bの値を定めよ。
①

(1) f(x) を2次式(x-a)2で割ったときの商をg(x), 余
りをpx+g とおくと
f(x)=(x-a)2g(x)+bx+α
・①
両辺をxで微分するとと
f'(x)=2(x-a)g(x)+(x-a) ・g'(x)+p
2
① ② の両辺に x =α を代入すると
f(a) = pa+g, f'(a) = p
(S-)
よってg=f(a) - af' (a)
ゆえに、余りはf'(a)x+f(a)-af' (a)
多項式f(x)が(x-a)2で割り切れるための条件は、す
べてのxについても
f'(a)x+f(a)- af' (a) = 0
が成り立つことである。 よって
-
f'(α)=0... ③ かつ f(a) - af' (a) = 0. ④
③ ④ に代入すると
f(a)=0
したがって、必要十分条件は
f(a) =f'(a) = 0

①f(x)が(メーα)で割り切れる
時。
f(x)=(x-a)2Q(x)一皿
これにxzaを代入して
fcal
=
また2人でビブンして。
12
f(x)=0,f(a)=〇の時
f(x)=(x-a)2Q(x)+bx+cとおく。
x=aの時
f(a)
2
batc
= 0
3
また、②でビブとして。
f(x)=(x-a)(20(x)+(xa)(x))+l
flex) = (x-a) (20(x) + (x-a)Q(x))
xc=az代入してfla)=0
以上より f(x)が(x-a)で割り切
れる=f(a)=0,f(a)=0
これにこのを代入して、
f(ca)
b
=
④
よって&
C=o③、④)
以上から、fra)=0,f(a)=0
⇒f(x)(x-a)で割り切れ。

Answer 1

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和

特に問題ありません

ものぐさ

問題ないです。細かいですけど積の微分したあとのQ(x)をQ'(x)にしとかないといけませんよ。
必要条件の方も十分条件の方もそのままになってます

りんご

細かいところまで見ていただきありがとうございます！お二方とも回答ありがとうございました！