Question

れもん

(1)について質問です。
赤線部の式はどこから出てきたのでしょうか🙇🏻‍♀️
お願いいたします🙏

礎問
44 はさみうちの原理(I)
次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ.
(2) 数列の和 S=
k-1
(1)1nで表せ。
(3) lim Sm を求めよ.
n→∞
FOX
(1) 考え方は2つあります。
|精講
I. (整数)” を整式につなげたいとき,2項定理を考えます。
(ⅡB ベク4
Ⅱ. 自然数に関する命題の証明は数学的帰納法. (IIB ベク 137
(2) 本間のΣの型は,計算では重要なタイプです. (IIB ベク121)
S=Σ(kの1次式)k+c (r≠1) は S-S を計算します。
(3) 極限が直接求めにくいとき 「はさみうちの原理」という考え方を用いま
bn≦an ≦ cn のとき
limbn=limc=α ならば liman = a
1-0
n→∞
この考え方を使う問題は、ほとんどの場合, 設問の文章にある特徴があり
す.(ポイント)
解答
(1) (解I) (2項定理を使って示す方法 )
n
+1)=kk に x=1 を代入すると
k=0
2"=mCo+nCi+nC2+... +nCn
n≧1 だから,2"≧„Co+C=1+n>n{
2">n
(解II)(数学的帰納法を使って示す方法
2">n
(i) n=1のとき
(左辺)=2, (右辺)=1 だから, ①は成りたつ.
(

両辺に2をかけて,
ここで,
in=k(k≧1) のとき, 2">k と仮定する.
2+12k
2k-(k+1)=k-10 (k≧1 より )
..2k+12k≧k+1 すなわち,
2+1k+1
よって, n=k+1 のとき, ① は成りたつ.
(i), (ii)より, すべての自然数nについて, 2">nは成りたつ.
れ

はさみうちの原理

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

きらうる

帰納法で解いていますので、
最終的に証明したいことは、
2^(k+1)＞k+1
であることです。

2枚目2行目に、
2^(k+1)＞2k
があります。
この式を
2^(k+1)＞2k＞k+1
のように持っていきたいんですね。

なので、
2k-(k+1)
が正であることを証明して、
2k-(k+1)＞0
→　2k＞k+1
がいえるので、
2^(k+1)＞2k＞k+1
が証明できた、というわけです。

れもん

遅くなりすみません🙇🏻‍♀️🙏
理解出来ました！ありがとうございますm(_ _)m