Question

ナガトラ

数1＋Aの青チャートの問題で
√5＋√7を有理数と仮定してｒを有理数として
√5＋√7＝ｒと置いたときに
√7＝ｒ−√5としてはいけない理由がわかりません。
初歩的なことかもしれませんが教えてほしいです

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基本 例題 61 背理法による証明
00000
✓が無理数であることを用いて,√5+√7は無理数であることを証明せよ。
指針 無理数である(=有理数でない)ことを直接示すのは困難。
そこで、証明しようとする事柄が成り立たないと仮定して、
矛盾を導き、その事柄が成り立つことを証明する方法,
すなわち 背理法で証明する。
基本例
p.102 基本事項
√7は無
倍数なら
・実数
無理数
有理数
指針
直接がだめなら間接で 背理法
CHART 背理法
「でない」, 「少なくとも1つ」 の証明に有効
+√7 が無理数でないと仮定する。
解答 このとき5+√7 は有理数であるから, rを有理数とし
57とおくと√5=√7
両辺を2乗して
5=x²-2√7r+7
ゆえに
2√7r=2+2
r2+2
5 +√7 は実数であり、
無理数でないと仮定して
いるから,有理数である。
解答
2乗して√5 を消す。
(*) 有理数の和・差・・
商は有理数である。
r = 0 であるから
√7= 2r
①
r2+2, 2r は有理数であるから, ①の右辺も有理数であ
(*)
よって、 ①から√7は有理数となり √7 が無理数である
ことに矛盾する。
したがって、√5+√7 は無理数である。
矛盾が生じたから 初め
の仮定, すなわち,
「√5+√7 が無理数で
「ない」が誤りだったとわ
かる。
背理法による証明と対偶による証明の違い
命題gについて,背理法では 「であって」でない」 (命題が成り立たない)として矛
検討
盾を導くが,結論の「gでない」に対する矛盾でも、仮定の 「pである」に対する矛盾でも
どちらでもよい。 後者の場合,「刀」つまり対偶が真であることを示したことになる。
このように考えると,背理法による証明と対偶による証明は似ているように感じられるが、
本質的には異なるものである。 対偶による証明は「刀」を示す,つまり、証明を始め
る段階で)導く結論が万とはっきりしている。 これに対し, 背理法の場合,「pであって1
でない」として矛盾が生じることを示す, つまり,(証明を始める段階では)どういった矛
盾が生じるのかははっきりしていない。
検

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ゴンザレス

問題のとこに√7が無理数であることを用いてとあるので√5が無理数とは言われてないからじゃないでしょうか?

ナガトラ

よく分かりました！ありがとうございます！

ゴンザレス

良かったです!!😊