Question

りる

12（2）がわからないので教えてください。解説も載せておきます

別解じゃない方はx^2+y+^2=4という条件が先に与えられているのでx^2+y+^2=4 から2x+yに当てはめるという順番でやらないとおかしいのではないかと思いました。（2x+yをx^2+y+^2=4に持って行くのはありなのですか？理由と一緒にお願いします。）
また別解の四行目からもわからないのでそこもお願いしたいです。

12 (1) 実数x, y がx+3y=1 を満たすとき, x2 + y2の最小値を求めよ。
(2)実数x, y x2 + y2=4 を満たすとき, 2x+yの最大値、最小値を求めよ。
(3)正の数 a, b が ab=6を満たすとき, 3a +86 の最小値を求めよ。

(2)x2+y2=4... ① とする。
2x+y=k とおくと
y=k-2x
これを①に代入して
よって
x²+(k-2x)2=4
(2)
5x2-4kx+k24 0 ..... ③
xは実数であるから, ③の判別式 D について D≧0
1=4k2-5(k2-4)=20-k2 より 20-k²≥0
これを解いて
-2√5≤ k ≤2/5
したがって, 求める最大値は 2/5, 最小値は 2,5
参考 k=2√5のとき(x,y)=(
2 = (4/52/5)
k=-25 のとき (x,y)=
=(-1/2-2/5)
[別解 x, yはx2+y2=4 を満たす実数であるから
x=2cos0, y=2sin0 (0≤0<2)
2x+y=2-2cos+2sin0 = 2(sin0 +2cos0)=2√5sin(0+α)
2
と表せる。
このとき
1
ただし, αはcosa=
sina=- を満たす角である。
-1≦sin (+α) ≦1 であるから
-2√√5≤2x+y≤2/5
よって、最大値は 2/5, 最小値は 2/5

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

質問者の意図を正確に理解できている自信はありませんが、、、必要十分条件でやっているので問題ないかと思います。

求めたいものをkで置く
→代入してyを消す（xでもいい）
→成立条件を求める

の手順です。x²+y²=kの式をy=になおして代入しようとすると符号などがややこしいのでおすすめしません。

別解4行目は三角関数の合成です。
https://www.try-it.jp/chapters-6673/sections-6808/lessons-6809/

りる

多分私が聞きたいことを答えてくださっている気がします！ありがとうございます！
必要十分条件でやっているってどういうことか詳しく教えてください

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

https://www.try-it.jp/chapters-5621/sections-5861/lessons-5918/

式変形など全ての操作が必要十分条件で行われているので「AならばB」なのか「BならばＡ」なのかを考慮する必要がないです。

なので2つの式のどっちから持ってきても大丈夫です。

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

例えば、
a²=b²
a=2+b
の2つの式があったとして、a=bをa=2+bに代入すると必要十分条件を満たしていないことになります。（a=-bを考慮していないため）

りる

ということはx^2+y+^2=4 から2x+yに当てはめるという順番では必要十分条件を見たしていないということですか？

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

y=√（4-x²）
を代入すると満たしません。
y=+-√（4-x²）
を代入すると満たします。

でも+-の計算はめんどくさいのでx²+y²=4にy=k-2xを代入する方が楽です。

りる

なるほど。
ではまた最初のような質問に戻ってしまい大変恐縮ですが、x^2+y+^2=4 を満たすとき2x+yはどうなるかと言っているのにx^2+y+^2=4→ 2x+yだけでなくx^2+y+^2=4↔️2x+yが成り立つ？？ということですか？

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

そういうことです。

りる

ありがとうございます