Question

ぽちゃこ

この別解のほうなんですが
すみません、何がわからないのかもわからないくらい理解できません。
教えて頂きたいです💦

32\
和の
数列の和
443
ののを求めよ。
000
1.(n+1), 2n, 3.(n-1),
.....
(n-1)-3, n.2
基本1, 20 重要 32、
1
指針
解答
方針は基本例題 20同様, 第kak をkの式で表し、 α を計算である。
第n項がn 2 であるからといって、 第項を k-2としてはいけない。
各項のの左側の数, 右側の数をそれぞれ取り出した数列を考えると
・の左側の数の数列 1,2,3,
の右側の数の数列 n+1,n, n-1,...... 3,2
n-1, n →第k項はk
これらを掛けたものが,与えられた数列の第k項ak [←nとkの式] となる。
→初項n +1, 公差 -1の等差数列→第k項は (n+1)+(k-1)(-1)
k=1
また, ak の計算では, kに無関係なnのみの式は2の前に出す。
この数列の第ん項は
{(n+1)+(k-1)(-1)}=-k+(n+2)k
したがって, 求める和をSとすると
n
n
S={-k²+(n+2)k}=-2k+(n+2)2k
k=1
k=1
11/13n(n+1)(2n+1)+(n+2) ・1/2n(n+1))
6
1/11n(n+1){-(2n+1)+3(n+2)}
=1/11
= n(n+1)(n+5)
==
別解 求める和をSとすると
S=1+(1+2)+( 1 +2 +3) +
+ (1+2+......+n)
n
=Σ(1+2+...
k=1
\1
+k)+1/21n(n+1)
<n+2はんに無関係
→ 定数とみてΣの前に
出す。
1/1
{ }の中に分数が出て
こないようにする。
種々の数列
2+2+......+2+2.2.n
......
+ (1+2+......+n)
< 1+1+1+······ +1+1 ··
1.(nm)
3+ ...... +3+3
n.2
はこれを縦の列ご
とに加えたもの
JAJ
=1/22k(k+1)+1/2n(n+1)
=
k=1
(+)+(+1)
k+2k+n(n+1)}
k=1
-11 (n+1) (Zn+1)+1/2 (n+1) +a(n+1)}
=
12.11n(n+1){(2n+1)+3+6)=1/13n(n+1)(n+5)
SS

Answer 1

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dio

別解の方法で解きます。
まず、分かりやすくするために、
1項目から1, 2項目から2, ...n項目からnを引き算してみて下さい。
すると、数列は1*n, 2*(n-1), 3*(n-2)...... , (n-1)*2, n*1となります。
これは、図に書いてある、四角形の枠で囲まれた外の数の値です。
ですので、数式にあるΣ(1+2+3+...+k)の[k=1からk=nまで]が、
計算してnを含む形で求められます。

続いて、先ほど各項から引いた値の合計を求めると、
=1+2+3+...+n=1/2*n(n+1)になりますから、
四角い枠に囲まれた部分の合計に一致します。

この2つを足し算して答えを求めると、
1/6*n(n+1)(n+5)となり解答と一致します。

この別解の意味は、おそらく単に総和を求める問題に対して、
機転を利かせることを想定しているのかなと思います。
例えば、九九算の値の合計を計算するときに、横向きに足すよりも、
列ごとに足したり、回転させて合計を求めた方が効率的な場合もあります。

この九九算の問題の合計値はちょうど2025になるのですが、
個人的には興味深い別解だったので、解答させて頂きました。

ぽちゃこ

わかりました!！ありがとうございます！