Question

lim-cat

この問題で二つ解法があるのですが、解1では（i）などがどのような場合分けをしているかが分かりません。解2では5行目の（-1/2，0）ぐらいから分からなくなりました。これらは何をしているのですか?詳しく教えていただけるとありがたいです。

とき、最
133
a を定数とする. 0 に関する方程式 sin' +2acos0+a-30 について この方程式の
解の個数をαの値の範囲によって調べよ. ただし, 0≦02 とする.
1 与式より,
(1-cos'0) +2acos+a-3=0 ...... ①
ここで, cosa=t とおくと,
また,
①は,
-1≤t≤1
1のとき,対応する 0 の値は1個
とき, 対応する 0 の値は2個
t2-2at a+2=0 ・・・・・・2
この左辺をf(t) とおくと,
f(t)=(t-a)-a-a+2
よって, y=f(t) のグラフは, 軸が直線 t=α で,下。
に凸の放物線である.
ここで,②が実数解をもつのは,f(t) の頂点のy座標
が0以下のとき,すなわち, -d-a+2≦0 より
a-21≦aのときである.
(i) a≦2 のとき
軸は区間の左側にあり
f(1=-3a+3≧9
よって、②が=-] を
'解にもつとき,すなわち,
f(-1)=a+3=0 より
a=-3 のとき,与えられ
程式は解を1個もつ.
| sin'0+cos20=10
T
Ka≦-2より、
-3a≥6
-3a+3≥9
20
4
a
0 t
対応する の値は1個
>
また,②が-1<t<1に解をもつとき,すなわ
ち,f(-1)=a+3<0 より, a<-3 のとき,与え
られた方程式は解を2個もつ.
-3<a≦-2 のとき, 与えられた方程式は解をも
たない.
(ii) -2<a<1 のとき
②は実数解をもたない.
(ii) a≧1 のとき
軸は区間の右端または右
側にあり,f(-1)=a+3≧4
よって② t=1 を解
にもつとき,すなわち,
f(1)=-3a+3=0 より,
a=1 のとき,与えられた
la
対応する0の値は2個
f(1) >0より,f(-1) <0 の
とき, -1<t<1で解をもつ.
Ka≧l より, a +3≧4
対応する0の値は1個
方程式は解を1個もつ.
また,② が-1<t<1に解をもつとき,すなわ
【対応する8の値は2個
ち,f(1)=-3a+3 < 0 より, a>1 のとき, 与えらf(-1)>0より,f(1) <0 の
れた方程式は解を2個もつ.
とき, -1<t<1 で解をもつ.
以上より, a3のとき 2個
a=-3 のとき 1個
-3<a<1 のとき, 0個

Check!
練習
Step Up 232 第4章 三角関数
章末問題
a=1 のとき, 1個
a>1 のとき, 2個
解2 f2at-a+2=0 を ② とおくところまでは解1と同αを分離して2つのグラフの
(
小
共有点を考える解法
じ
②を変形すると,f+2=2a(t+12) となり,この方程
方式の実数解の個数は,放物線y=f+2
(-2.0)を通り、傾き 24の直線 y=2(+12)で飛
の共有点の個数に等しい.
③と④が接するとき②の判別式)=0 となるから,
a²-(-a+2)=0
これを解いて,
a=-2, 1
a=-2 のとき,②は,
-
t°+4t+4=0
(t+2)=0
t=-2
となり 接点の座標は2
また, a=1のとき②は,
P
t2-2t+1=0
1
(t-1)2=0
t=1
となり, 接点のt座標は1
132
4
また, ④ ③上の点 (-1, 3) を通るとき,
3=2(-1+) a=-3
よって、 右の図より,与え
られた方程式の解は,
YA
a=-2
(-2, 6)
a<-3 のとき 2個
a=-3 のとき, 1個
-3<a<1のとき,
0個
=1 のとき, 1個
a>1のとき、 2個
2
12
3
-101
a=-3
リー
①
-1≧≦1の範囲外
パート
K-1≦t≦1 の範囲内
a=1 SC
,10=8+5=1-
=1のとき、対応する
の値は1個
t=1のとき、対応するの
値は1個
850 160

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

エムケー

解2について

2つの関数の共有点を考える手法だが、tは-1<=t<=1しか取れないのでその範囲内での共有点の個数を考えることに注意。

Answer 2

エムケー

解1について

・f(t)=0を満たすtが存在するためには、f(t)が下に凸の関数であることをふまえるとf(t)<0となるtが存在する必要がある。
→f(t)の最小値である頂点のy座標が0よりも小さければf(t)<0となるtが存在する。
・解説の通り、上記を満たすためにはa<=-2、1<=aである必要がある。
・解説冒頭の通り、tが1、-1である時と-1<t<1である時は対応するθの個数が異なる。
・f(t)=0を満たすtが1、-1である時は対応するθが1つあるので解が1つとあり、-1<t<1の時は対応するθが2つなので解は2つとなる。
・a<=-2、a<=1において、aがどの値もしく範囲の時に、解が1つ存在するのか(f(t)=0を満たすtがt=1、-1)、解が2つになるのか(f(t)=0を満たすtが-1<t<1)を考えていく。
・-2<a<1の時には解は存在しない。(すべてのtにおいてf(t)>0となるため。)
・(ⅰ)の解説の通り、a<=-2において、f(1)>0であるからt=1は解とならない。f(1)>0よりf(-1)<0であればf(t)=0を満たすtが-1<t<1に存在する。f(-1)<0となるためには解説の通りa<-3である時であり、この時、解は2つとなる。-3<=a<=-2の時はf(-1)>0なので、-1<=t<=1の全てのtでf(t)>0となるのでf(t)を満たすtは存在しないので解は存在しない。

lim-cat

見るのが遅くなってすいません。解1理解できました！！ありがとうございます。今から解2をもう一度やってみます！🙇‍♀️