Question

りんご

(2)で初めの位置が釣り合いの位置と書いてあり、小球がはね上がる前提で計算してると思ったのですが、(1)ではね上がるにはm＜Mの条件が必要だと思うのですが、それは考えないのですか？！教えてください！！

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ばね定数kのばねを鉛直に立て,上端に質量 M
の板を取り付け, 静止させる。 そして, 質量mの
小球をこの板の上方の高さから静かに落下させ
る。 重力加速度をg とする。
I、物体が板と弾性衝突をする場合について
衝突により小球がはね上がるためには,m
とMの間にどのような関係が必要か。
0000000
k
M
2衝突後, 板ははじめの位置より最大どれだけ下がるか。 衝突は
1度だけとする。
II. 小球が粘土のようなもので,衝突後,板と一体となって運動する
場合について
衝突の際,失われる力学的エネルギーはどれだけか。
板ははじめの位置より最大どれだけ下がるか。
(東工大)

100
力学
LECTURE
(1) 衝突直前の小球の速さをvo とする。 力学的エネルギー保存則より
mgh=1/23mvo2
Vo = √2gh
衝突直後の小球と板の速度を、下向きを正と
Vとする。 運動量保存則より
〇
Vo
mv+MV = mvo
・①
静止
弾性衝突でe=1 だから
v-V=-(vo - 0)
......②
直前
直後
速度の矢印は、仮に正の
① + M × ② より
m-M
v=
=vo
向きとしておくと式を立
てやすい。
m+M
小球がはね上がるためには <0 となればよいから, m < M
物体系には外力がかかっている。 Mg と弾性力はつり合っているので問題はな
いが,mg が外力として残る。 したがって, 厳密にいえば運動量保存則は近似的な
適用となる。
(2) 1m×②より
2m
2m
V=
Vo=
m+M' m+M
=√2gh
板は単振動を始める。はじめの位置がつり合い位置で振動中心だから,
Vは最大の速さにあたり, 求める量は振幅Aにほかならない。
そこで,V=Aw とT=2π EVM を用いて
k
V = Aw = A² = A√
2
k
M
A=W =
k
2m
2Mgh
m+MV
k
(
別解 1 最下点では一瞬止まる。 単振動のエネルギー保存則 (A方式) より
1/12/MV2+0=0+1/2/k42
(3 . A=√√√k
MS)
(以下略)
別解 2 はじめの位置でのばねの縮みをdとすると
Mg
kd = Mg
gid=k
・自然長位置
・④
d
重力の位置エネルギーと弾性エネルギーを用
いた力学的エネルギー保存則 (B方式)より
12MV2+MgA+1/23kd=0+0+1/23k(d+A)2
Hellllll
3
静止

Answer 1

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GDO

Mが最大どれだけ下がるか？という問いなので、
mがはね上がる前提は関係ないです（下がってもよい）
また、はね上がる前提で考えても同じ答えになります。

↓この質問の意味が分からないです
つり合いの位置⇒はね上がる前提

りんご

回答ありがとうございます、(2)で小球を落とした時、ぶつかって板と合体した時、振動中心の位置が変わってしまうのではないかと思ってしまいました。分かりづらくて申し訳ないです、、

GDO

弾性衝突（反発係数e=1）なので、合体することはないです。
e=0のとき合体します。

反発係数eとして2物体の速度を計算すると、e=0のときのみ同じ速度になる（合体する）ことがわかります。

りんご

なるほど！まだ、少し分からないところがあるのですが、(1)で弾性衝突で跳ね上がらない場合というのはどのような状況なのですか？？合体しなければ、絶対跳ね上がると思ってしまっていました。

GDO

衝突後の小球と板の速度
　小球：v=(m-M)v₀/(m+M)
　板：　V=2mv₀/(m+M)
大小比較すると、v<V
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
① m<Mのとき、vはマイナス（上がる）、Vはプラス（下がる）
② m=Mのとき、vは止まる（0）、Vはプラス（下がる）
③ m>Mのとき、vはプラス（下がる）、Vはプラス（下がる）
↓
①のとき、小球は跳ね上がる

②のとき、小球は一瞬止まるけれど(v=0)、重力で落ちていく
板はバネに押し返され、最大に下がる前に小球が追いつく可能性はありますが、板に追いつく前に小球を取り去る（「衝突は1度だけ」と問題文に記載）

③のとき、小球は下がる（跳ね上がらない）
ただし、v<Vなので板の方が速く下がっていく（落ちていく）
この場合も、小球が板に追いつかないように取り去る（「衝突は1度だけ」と問題文に記載）

りんご

なるほど！納得しました！！丁寧に教えていただきありがとうございました！