Question

れもん

(2)について質問です。
赤線部のzz￣の部分の記述はこと問題を解く上で必要ないと思ったのですが、なぜ記述されているのでしょうか？🙇🏻‍♀️

17ド・モアブルの定理(II)
(1)x2+px+q=0 (p,g:実数)が虚数解をもつとき,その1つをαと
する. |α| を求めよ.
(2) z+
4
2
-=2 をみたす複素数 zについて, z を求め, zを極形式で表
せ.ただし, 0°≦argz ≦ 180° とする.
(3)(2)のzについて, z” が実数となる最小の自然数nを求めよ。
|精講
(1) 2次方程式(係数は実数)が虚数解をもつとき,それらはα
と表せます.|a|=aa (14) を思い出せば,解と係数の関係
(IIB ベク21) で解決です.
(2) 分母を払えば2次方程式ですから,解の公式でzを求めておいて,
0°≦arz≦180°となる方を選ぶだけです.
(3) 「z”が実数」とは,「(z”の虚部) =0」 ということです.
解 答
(1)x2+px+g=0の2解はα, a と表せるので解と係数の関係より,
aa=q
∴|a|=aa=g よって, |a|=√g
注 g≦0 のときを心配する必要はありません.
g≦0 のとき,D=p2-4g≧0 だから,x+px+g=0は実数解を
もちます.すなわち,
「g≦0→x+px+g=0 は実数解をもつ」は真.
対偶を考えると ( IA24)
「x2+px+g=0が虚数解をもつ→g>0」も真.
4
(2) z+=2より, z2-2z+4=0
Z
解と係数の関係より,Yz=zz=4
|z|>0 だから,||=2
また、2=1312 (12/21)
i=20
0°≦argz≦180°より,この虚部は正だから

z=2
=2 1/2/3+
3
2
- =2(cos60°+isin60°)
注解と係数の関係を使わずに, z=1±√3i を出したあと | z|, arg
を求めてもよい.
COR

ド・モアブルの定理

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

たけさん

👍

れもん

回答ありがとうございます🙇🏻‍♀️！！
解のひとつがzというのは、zにあてはまる数を考えてるからということでしょうか？🙏
お願いいたしますm(_ _)m

たけさん

失礼しました、わかりにくかったですね、ここでは問題と関係なく、一般に二次方程式ax^2+bx+c=0解が複素数解のとき、一つの解をzとすると、解と係数の関係から、
|z|^2=c/aとなるということを説明しています。

慣用的に任意の複素数をzと置くので、問題の変数z同じものを置いてしまいました。すみません。

また、写真には書いていませんが、題意を読み取ると、問題の流れとして、（1）で求めた|z|^2=c/aという関係を（2）で使って欲しいという意図があったのだと思います。（どうせ極形式にするのだから必要かと言われればなんとも言えないのですが…）

れもん

理解出来ました！
何度もありがとうございました‼️🙏

Answer 2

和

では、なぜ|z|²=4となるか説明できますか？

z²-2z+4=0の2つの解がzとzバーです
解と係数の関係からz×(zバー)=4です

一方、|z|²とz×(zバー)は同じものです

よって、|z|² = z×(zバー) = 4と書いてあります

れもん

理解出来ました✨️
ありがとうございます🙇🏻‍♀️