例題 158 約数の個数
金
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-(1) (a,+α2)(b1+b2+bs+ba) (c) +C2+cs) を展開すると、 異なる項は何
個できるか.
T(2) 200の約数の個数とその総和を求めよ. また, 約数の中で偶数は何
個あるか. ただし, 約数はすべて正とする。
考え方 (1) (α)+α2)(b,+b2+63+ba) (Ci+C2+C3)
たとえば, (a1+a2)(b1+b2+bs+ba) を展開してできる arbī に対して,
ai*bi (C1+C2+cs) の展開における項の個数は3個である.
(a1+a2)(61+62+by+b4) を展開するとき, ab」 のような項がいくつできるか考
えるとよい。
(2)1か2か22 か 2 × 1か5か52 であるが, (1+2+2+2)(1+5+52) を展開すると
1×1, ②×1,4×1, 8×1,
1×5,
②×54×58×5,
1×25,2×254×25,8×25
がすべて一度ずつ現れる. したがって, 約数の総和は,次のようになる.
(
1+2+4+8)×1+(1+2+4+8)×5+ (1+2+4+8)×25
=(1 + 2 + 4 + 8 ) ( 1 +5 +25)
200=23×52 より 約数が偶数になるのは, 1 以外の 23 の約数を含むときである
ら, 2か2か23 を含む約数の個数を求めればよい.
解答
(1) (a1+az)(b1+b2+bs+b4) を展開してできる項
の個数は, 2×4(個) である.
a1, a2の2通り
b1, b2, b3, b44
また, (a1+a2)(b1+b2+63+64) の1つの項
abi に対して
全長901
aibi(ci+C2+c3)
C1, C2 C3の3通り
の展開における項の個数は3個である.
01 よって, 求める項の個数は,
2×4×3=24 (個)
(2)200を素因数分解すると,
200=23×52
(3+1)×(2+1)=12
積の法則
Focus
より、約数の個数は, 12個
また、約数の総和は,
1 2¹ 22 23
1
1-1 2-1 2-1 23.1
(1+2+2+2)(1+5+52)=465
また, 偶数の約数は, 2か22か23 を含むもの
だから、
3×(2+1)=9
より, 偶数の約数の個数は, 9個
5' 15'25'25'23.5
52 1.52 21.5 22.5 23.5
偶数になるのは,1以
2°の約数を含むとき
約数の個数は、素因数分解し,積の法則を利用する
