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（７）4x^2-y^2+2y-1
これは「(a-b)^2」と「a^2-b^2(2乗引く2乗)」を利用して因数分解します。
そのために、まずは-y^2+2y-1を(a-b)^2を展開した公式と同じ形にします。
共通因数-1でくくって、
-(y^2-2y+1)
となります。これだけを先に因数分解して、
-(y-1)^2
となります。そして4x^2は元から2乗の形になっています(2xを2乗⇒4x^2)。
次に、これらを並べて見てみます。
4x^2-(y-1)^2
となり、2乗-2乗の公式が使えます(もし忘れていたら教科書などで確認してください)。公式は
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
で、さっき2乗引く2乗の形にした式を当てはめると、答えは
4x^2-(y-1)^2=(2x+y-1)(2x-y+1)
となります。y-1のままではやりづらいと感じるのであれば、y-1をAとおく、とひとこと解答に書いてからAに置き換えて計算してみてください。
最後の2乗引く2乗の因数分解で符号を間違える人が本当に多いので気をつけてください。
（８）6x^2+7xy+2y^2+x-2
模範的な解き方ではないかもしれませんが、回答します。
それぞれの項の係数を見て、因数分解を考えていきます。
6x^2→掛けて+6(1,2,3,6から2つ、マイナス×マイナスの可能性)
7xy→足して+7(○x掛ける△yと◻︎x掛ける☆yを足す)
2y^2→掛けて+2(1×2または-1×(-2)で+2)
x→展開して足し算または引き算をすると係数が1
-2→文字を含まない掛け算の結果。1×(-2)または-2×1
○y→展開して足し算や引き算をするとプラスマイナスで0になっていて、与式では見えない
これらのことから、答えは
(3x+2y+2)(2x+y-1)
となります。
展開すると、
(6x^2+3xy-3x)+(4xy+2y^2-2y)+(4x+2y-2)
=6x^2+7xy+x+2y^2-2
=6x^2+7xy+2y^2+x-2
となり、正しいと分かります。
（８）6x^2+7xy+2y^2+x-2
与式のように一見複雑な式が難しければ、解説のためにもう少し簡単な文字式を見てみます。
このような因数分解した形の式を用意します。
(x+y)(2x+2y)
展開すると、
=2x^2+2xy+2xy+2y^2
=2x^2+4xy+2y^2
このようになります。
展開した式の中に、1や2のような定数項はありません。展開する前の、因数分解された形を見ればわかりますが、文字を含む項が分配法則で掛け算されているだけで、掛け算の中に定数項は出てきません。だから展開した式にも、-1や3のような定数項はありません。
・x掛ける2x
・x掛ける2y
・y掛ける2x
・y掛ける2y
これらを足して並び替えると、
2x^2+4xy+y^2
となります。このような「2つ掛ける2つ」の因数分解や展開を踏まえて、解説に進みます。
（８）の与式
6x^2+7xy+2y^2+x-2
を見ると、xの次数は2でyの次数も2になっています。これを元に考えると、
(○x+△y )(◻︎x+☆y )
因数分解した式がこのようになりそうだと想像できます。括弧に隙間が空いていますが、わざとです。
○と◻︎は掛けて+6、△と☆は掛けて+2になります。しかし、まだ正の数同士を掛けてプラスなのか、負の数同士を掛けてプラスになっているのかはわかりません。
ここまでで分からない点はございますか？
返答が来る前に回答を重ねて恐縮ですが、もし、一気に3つ掛ける3つの因数分解の形に持っていくのが難しければ、
6x^2+7xy+2y^2
これだけでも2つ掛ける2つの形に因数分解してみてください。
返信遅くなってすみません💦
明日からテストがあるのであまり返信出来ない可能性があります(火曜まで)
分からないところ⬇️
・正の数同士、負の数同士を掛けてプラスになっているのかが分からないという点でなぜそう言えるのか
はい、テストを優先してくださって構いません。
単純な話ですが、掛けて3になるパターンと、-3になるパターンを考える時、後者は3×(-1)または(-3)×1だと分かります。しかし前者の場合、1×3または3×1、-1×(-3)または(-3)×(-1)、のように正×正と負×負のパターンを考え、掛ける数と掛けられる数の順を入れ替えた場合も想定しなければいけません。
展開された式の項に6x^2と2y^2が出てくるには、展開するときの分配法則の掛け算で、xの係数が6で次数が2、yの係数が2で次数が2になるように、
・6x^2の場合
6x・xまたは-6x・(-x)
3x・2xまたは-3x・(-2x)
2x・3xまたは-2x・(-3x)
x・6xまたは-x・(-6x)
・2y^2の場合
2y・yまたは-2y・(-y)
y・2yまたは-y・(-2y)
xは6･1と3･2の2パターン(マイナスと逆順を含めると8)のうちから1つ、yは2･1のパターン(マイナスと逆順を含めると4)を1つ、因数分解に当てはめて考えます。（…と言っても、今回はx^2とy^2の係数はどちらも正で、因数分解した括弧の1個目のxとy、2個目のxとyのどちらの係数も正になりそうと目処が立っているので、今回は負のパターンは考えずに進めていきます。）
これらのパターンのうち、どれが当てはまりそうかは、7xyを見て考えます。
7xyは、展開するときの分配法則でxとyを掛けて足した(または引いた)項です。
足して7xyになるには、
xy+6xy
2xy+5xy
3xy+4xy
4xy+3xy
5xy+2xy
6xy+xy
この中の組み合わせのどれかになりそうだということが分かります。
そうしたら、あとは「掛けて6(xの2乗)と2(yの2乗)、足して7xy」になる場合を探すだけです。解説のために、○xyと関係するところだけを書きます。
(6x+2y)(x+y)⇒6xy+2xy=8xy(❌)
(3x+2y)(2x+y)⇒3xy+4xy=7xy(⭕️)
(2x+2y)(3x+y)⇒2xy+6xy=8xy(❌)
(x+2y)(6x+y)⇒xy+12xy=13xy(❌)
このように調べた結果、x^2の係数は掛けて6、y^2の係数は掛けて2、xとyを掛けて足すと7xyになる因数分解は、
(3x+2y)(2x+y)
と分かります。ここまでで、6x^2+7xy+2y^2の因数分解ができました。
元の問題は6x^2+7xy+2y^2+x-2なので、まだx-2が残っていますが、ここまで来れば解くのは難しくありません。因数分解が終わった部分は除いて見て見ると、
x-2
となっています。ここからわかることは、
(3x+2y+○)(2x+y+△)
・○×△の掛け算の結果は、-2になるということ
・展開して計算するとxは残るがyは残らない
この2つです。特に1つ目が有用で、大きなヒントになっています。掛け算で-2になる場合は、
→-1×2
→2×(-1)
→1×(-2)
→(-2)×1
この4つのパターンです。これらを、それぞれ○と△に当てはめて、関係のある部分だけ計算して、展開したらx-2になるかを確かめてみます。
(3x+2y-1)(2x+y+2)
⇒6x+4y-2x-y-2=4x+3y-2(❌)
(3x+2y+2)(2x+y-1)
⇒-3x-2y+4x+2y-2=x-2(⭕️)
(3x+2y+1)(2x+y-2)
⇒-6x-4y+2x+y-2=-4x-3y-2(❌)
(3x+2y-2)(2x+y+1)
⇒3x+2y-4x-2y-2=-x-2(❌)
パターンを調べた結果、因数分解すると
(3x+2y+2)(2x+y-1)
になると分かります。
返信遅くなってすみません🙇♀️💦
なんとか理解することが出来ました！ありがとうございます🙏🏻しかしいざとなったら解けるのか不安です😭
あと2つ掛ける2つの形に因数分解してみたのですがどうでしょうか
ご自身でお考えになった、この画像についてのコメントですが、2y^2が2y×yであることから考えていくほうが簡単です。
そこから考えて、掛けて6x^2になるパターンを試して、xとyを掛けて→足して7xyになれば、6x^2+7xy+2y^2の因数分解はおわりです。
わかりやすい説明長い期間本当にありがとうございました🙇🏻♀️
理解することが出来ました😊
次のテストに向けて頑張ります！
(7)は理解出来ましたが、(8)がまだよく分からなくて
どの部分が分からないのかも全然で💦