Question

はん

(2)のX(t)＝0ってどっから出てきたんですか？

A
1. 〈斜方投射と相対運動〉 6/16
一定の速さ Voで鉛直方向上向きに上昇している気球がある。 気球に乗っている人の手の
高さが地上から高さんの所で,この気球から見て小物体を初速度の大きさで手から水平
に投げた。小物体が投げられた時刻をt=0s 投げた手の真下の地表を原点とし,鉛直方
向上向きを正としてy軸をとり、水平方向で小物体が投げられた向きを正としてx軸をとり,
重力加速度の大きさを」とし、気球は回転しないものとし、空気抵抗は無視できるとする。
(1)地表から見た, 小物体の位置のx成分 x(t) を求めよ。
(2) 気球に乗っている人は小物体を投げた手の位置を変えずに小物体を観察する。その手の
位置を基準(新たな原点 0))として小物体を見た場合の, 小物体の位置のx成分x(t) を求
めよ。
(3)地表から見た, 小物体の位置のy成分y(t) を求めよ。
(4) 気球に乗っている人が小物体を投げた手の位置を基準(原点O')として鉛直方向上向きを
正とする新たなy'′ 座標軸を考える。 その座標軸 y' は気球に乗っている人には静止してい
る。この場合の, その座標軸y' を用いて表した小物体の位置のy′成分y' (t) を求めよ。
(5)地上から見てこの小物体が最高点に達した高さを、気球に乗っている人が見たときにど
のようになるか。 (4)で用いたy' 座標軸の位置 y' としてその位置を表せ。

ヒント
1 〈斜方投射と相対運動〉
(2), (4) 相対運動は, A に対するBの相対速度 VAB が 「VAB=UB-UA」 と表されるのと同様に, A に対するBの相対位置
XAB は、 「XAB=XB-XA」 と表される。 気球に固定された手(新たな原点O') に対する小物体の位置は、 気球に対する小
物体の相対位置である。
(1) 地表から見た小物体の運動は, 時刻 t=0s に (x,y)=(0, h) の位置から,
初速度の水平(x軸方向) 成分 vo, 鉛直 (y軸方向) 成分 VOAの斜方投射で
ある(図a)。 よって小物体の運動を問題文に示されたx軸, y軸を用いて表
す
YA
Vo.
最高点=-g
t = 0 1
y=ho
斜方投射
Vo
小球を投げてからt [s〕 後の水平位置 x(t)=vot
①
鉛直位置 y(t) = h+Vot-1212
0
x
と表される。
よって, 小物体の位置のx成分は①式より x(t)=vot
(2) 地表から見た気球の運動は、y軸の正の向きに等速 V で運動し,時刻
t=0s に (X, Y) = (0, h) の位置を通過する(図b)。 よって気球の運動を
問題文に示されたx軸, y軸を用いて表すと
小球を投げてからt [s〕 後の水平位置 X(t)=0
4)
図 a 小物体の運動
← A 小物体は気球(上向
き V で等速) から投げ出さ
れるので,気球に対して初速
度v で水平方向に投げ出し
たとき,鉛直方向に気球と同
じ上向き Vo の速度成分をも
っている。
鉛直位置 (t)=h+Vot
と表される。
と表される。 1, 3, 5 式よりx'(t)=vot-0=vot
原点 0′から見た小物体の運動は, 気球に対する小物体の相対運動になるの
で,小物体の相対位置x'(t) は x'(t)=x(t)-X(t)※B
YA
t=0
V (等速)
y=h
(3)②式より,小物体の位置のy成分はy(t)=h+Vot-1/2gt
(4) 気球から見た小物体の相対位置y' (t)はy'(t)=y(t)-Y(t)
と表されるので, 2, 4, ⑥式より
…... ⑥
y'(t)=(h+ Vot-gt²)-(h+ Vot)=-
1
=-1/2
2912
2
(5) 小物体のy軸方向の速度v(t) は
v(t)= Vo-gt
最高点では u(t) = 0 になるので
0=Vo-gt
よって,y(t)はた Vo
(
図b 気球の運動
■B 相対速度の式
「VAB=VB-VA」と同様に, 相
対運動の相対位置も
「XAB=XB-XA」 と表される。
C 別解(3)の結果より